正四面体
- 什么样的圆柱和圆锥可以放入正方体及正四面体内?
,而正方体、正四面体、圆柱、球等都是数学中常见的“空间想象的支架”[1],也是生活中随处可见的图形.此题要求学生以“支架”为支撑构建空间图形,需要较强的空间想象的能力.笔者认为,不给出图形恰是此题的点睛之笔,以便更好地考察直观想象和逻辑推理等数学学科核心素养.此外,要想顺利解答此题还需要一定的数据估计能力.原题如下:试题下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位: m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )A.直径为0.99m 的球体B.所有棱长均为
中学数学研究(广东) 2023年23期2023-12-28
- 例谈一道立体几何问题的两种解法
判定定理以及正四面体的结构特征.题目涉及了不确定的点F，导致问题的难度增加.我们需从点F的位置入手，根据正四面体的结构特征、直线与平面所成的角的定义、线面垂直的性质定理、面面垂直的判定定理，来寻找使得四个选项中的结论成立的点F的位置，从而得出正确的选项.解法一：直接法直接法是指直接从条件出发，根据相关的定理、定义、性质、公式等，通过合理的运算和严密的推理，最后推出正确的结果.对于选择题，需在推出结果后，再对照选项，找出正确的答案.对于本题，我们可根据题意画
语数外学习·高中版下旬 2022年7期2022-05-30
- 例说与球有关的切、接问题
题例1 已知正四面体ABCD的棱长为2,E,F,G分别为AB,BC,CD的中点,则正四面体ABCD的外接球被平面EFG所截的截面面积是( )。解：将正四面体ABCD放入正方体中,如图1所示。图1因为E,G分别为AB,CD的中点,所以E,G分别为左右侧面的中心,所以正方体的外接球即为正四面体的外接球,其球心为线段EG的中点,所以正四面体ABCD的外接球被平面EFG所截的截面即为大圆。二、柱体的外接球问题例2 已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2 的
中学生数理化·高一版 2022年4期2022-05-07
- 正多面体一个定值问题的初等证明
任意一点P到正四面体各棱的距离的平方和为定值.证明首先证明正四面体中成立.如图1所示,正四面体A1A2A3A4的中心为O,棱长为a,点P为正四面体同心球上的任意一点,到各边的距离分别为hi(i=1,2,3,4,5,6),在ΔA1PA2中,有ah1=PA1·PA2sin ∠A1PA2.图1由于正六面体、正八面体、正十二面体及正二十面体分别关于其中心对称,易见,欲证成立,只需证明引理在正六面体中成立即可.如图2,设正方体的棱长为2a,建立如图所示的空间直角坐标
中学数学研究(广东) 2022年3期2022-03-25
- 正四面体钢架在小型决口封堵中的技术应用
的意义。1 正四面体钢架封堵原理该方法采用的正四面体钢架，使用的钢管为建筑工地常用的脚手架钢管，直径为50 mm，长度为1.20 m，由6根同规格的钢管通过螺栓连接成镂空正四面体结构。螺栓的连接部位和钢管端头的距离为20 cm。鉴于正四面体钢架本身具备良好的稳定性，无论在水流中如何翻滚，仍旧可以起到良好的支撑作用。同时，由于钢管密度较大，在入水之后可以迅速下沉，钢管突出的20 cm部分可以凭借重力作用插入土层，进一步增加钢架本身的稳定性。在决口部位投入一定
水利科学与寒区工程 2021年6期2021-12-22
- 浅议高中数学课中空间几何的解题技巧
。例如：一个正四面体A-BCD 的棱长为a，求这个正四面体的体积和外接球的半径。解析：由于正四面体的边长是相等的，可以联想到正方体的六个面的对角线是相等的。于是可以做辅助线，将正四面体画成正四面体DE。根据已知正四面体的棱长为a，所以将其视为边长为a 的正方体，正四面体的体积则为正方体体积的三分之一；正方体的中心就是这个正四面体的外接球中心，再具体进行求解。这种求解法更为便捷、高效。2.类比法。如，江苏2009 年高考题目：在平面上，如果有两个正三角形的边
散文百家 2021年2期2021-11-13
- 离散型随机变量概率分布运算大揭秘
角面的情况？正四面体有几个？体积怎么求？4=70种取法，其中四点共面的有6 个表面正方形，6 个对角面，计12 个．三棱锥(四面体)有70−12=58个，正四面体D1−AB1C类型有2 个，其体积为非正四面体有56 个，其体积均为所以X的可能值为0(12 个)，(56 个)，(2个)，其概率分布列如右表．所以X 0 1 6__1 3__P 6 4 1_________35__5____35_你有没有算得很慢？找到原因了吗？可以是因为没有找出四点共面的四边形
新世纪智能(数学备考) 2021年6期2021-08-04
- 多面体与球的组合体问题解题思路整理
R=.（6）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1常见题型解题策略：一、规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题。1. 球与正方体如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1，设正方体的棱长为a，E，F，H，G为棱的中点，O为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH和其内切圆，则;二是与正方体各棱
学习与科普 2021年12期2021-07-28
- 生鸡蛋下落的保护装置设计*
究选择了基于正四面体结构为核心的保护装置，如图1 所示。图1 正四面体保护装置3 实验装置及方法3.1 实验装置在实际实验操作中，保护装置的设计考虑了固定、缓冲、减震等方面。首先将鸡蛋嵌入由木棍及细线缠绕而成的正四面体装置中，并保证鸡蛋刚好嵌入且在下落的过程中不脱落。同时，为了在实验完成的情况下保证实验装置尺寸最小，尽量将鸡蛋直接嵌入到正四面体中，并通过多次实验找到鸡蛋不摔碎下最小的正四面体尺寸。其次，采取在制作四面体装置时延长木棍长度的办法使其成为缓冲装
广西物理 2021年1期2021-07-08
- “球的体积公式及其应用”的教学设计、实践与反思
球与正方体、正四面体的几个特殊的位置关系的问题.1.3 教学难点构造符合祖暅原理条件的几何体的过程.2 教学过程(片段)2.1 探究新知已知球的半径为R,求球的体积V.师: 我们需要利用祖暅原理,祖暅原理中关键是两个几何体底面积相等,高相等,而球没有底面,所以我们先来求半球的体积.问题1: 我们根据祖暅原理,来推导半球的体积公式,那么我们需要构造一个怎样的几何体呢? 这个几何体需要满足什么条件呢?生1: 在任意等高处用一组平行平面去截两个几何体时,截面面积
中学数学研究(广东) 2021年6期2021-04-20
- 最密堆积中空隙分布的学习技巧
，并不能掌握正四面体和正八面体两类空隙的分布规律以及其与典型二元离子晶体结构的关系。本文将介绍密置双层、最密堆积以及典型二元离子晶体结构中空隙分布的规律及其内在的关联。掌握这个关键点，就可以很好地理解最密堆积中空隙分布的规律性、进而理解典型二元离子晶体结构的规律性，对提升晶体结构的学习效果大有帮助。1 密置双层与最密堆积中空隙的分布1.1 密置层中的三角形空隙等径圆球按一维方向紧密排列成为密置列，将相互平行并共平面的密置列紧密靠拢形成密置层，密置层是等径圆
大学化学 2021年12期2021-02-12
- 利用玲珑画板培养学生数学立体思维*
的有正方体与正四面体的内切球与外接球问题,属于本课教学的重难点,需要学生具备较强的几何直观能力和空间想象能力.2.1 问题设计教师创设实际情境,利用玲珑画板设计正方体立体模型,以正方体中心为球心构造一个球体,如图1. 拖拽球体顶部的控制点可以将球体放大缩小,随着半径的变化,球体会先后与正方体的面、棱、顶点接触,学生从中可以直观了解何为正方体的内切球、棱切球及外接球. 拖动下方“旋转”控制点或点击自动按钮可以从不同角度观察模型中正方体与球的位置关系.下面结合
中学数学研究(广东) 2020年22期2021-01-11
- 浅谈与球有关的难点问题突破
点的作用.但正四面体作为特殊的正三棱锥,我们要掌握其性质,这样在解决有关正四面体的问题时,就可以不用作出几何图形了.比如,正四面体的外接球和内切球的球心是重合的,同时球心将高四等分,其中外接球半径为高的内切球半径为高的,且棱长为a的正四面体的高为例4将6个半径为r的球中的5个球放入由一个半径大于2r的球面和这个球的内接正四面体的四个面分割成的五个空间内,且此正四面体的棱长为,另一个球放入棱长为x的正八面体内,当r取得最大值时,x的最小值为________.
高中数理化 2020年23期2021-01-11
- 还原直观图 巧解几何题*
)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一球面上,若过球心的一个截面如图3,则图3中的三角形(正四面体的截面)的面积是( )分析由图3可知,过球心的截面三角形是等腰三角形,该等腰三角形的底边是截面圆的弦,它必是球面内接正四面体的一条棱;该等腰三角形的顶点必是这条棱所对的棱的中点.解还原球面O的内接正四面体ABCD，如图4,记E为棱CD的中点,则图3中的截面是∆ABE.三、由侧面展开图还原几何体的直观图分析图5中点D,E,F即为原三棱锥的顶点P,还原三棱锥P-A
高中数学教与学 2020年23期2020-12-28
- 离子半径比规则对离子晶体结构影响的探讨
但当D值大于正四面体空隙的最小值时，离子晶体的结构类型将会发生变化，配位数相应的也会增加.二、正四面体空隙将4个等径大小的球堆积成正四面体结构，中心位置出现1个空隙.将1个半径小的球填入此空隙刚好使得小球与4个大球相切.根据几何关系可以算出D的临界值,如图2所示.图2同理，当0.1150.225且到一定值时阳离子将阴离子撑开晶体结构稳为正四面体构型，阳离子配位数为4.例如：立方ZnS和六方ZnS型(如图3所示).(1)若S2-作面心立方最密堆积，此时根据“
数理化解题研究 2020年28期2020-10-19
- 构造完美几何体，巧解立体几何题
体、长方体、正四面体等这些形状优美、性质特殊的几何体称为完美几何体。这些几何体有着十分重要的地位和不可替代的作用。对于有些几何问题，我们往往可以通过对比与联想，将其中的几何图形构造出完美几何体，借助完美几何体的特殊性质，使问题快速获解，同时，也能让我们感受到数学的奇异美。下面举例加以说明。一、构造正四面体求二面角利用定义求二面角较为复杂。对于有些具有正四面体特征的二面角问题，我们若能将其构造成正四面体，利用正四面体的特征和性质求解，则可以化难为易。将不规则
语数外学习·高中版下旬 2020年2期2020-09-10
- 立体几何中动态问题的解题策略
盒内放置一个正四面体，且能使该正四面体在铁盒内任意转动，则该正四面体的体积的最大值是______.解析：如图，设正四面体A-BCD的棱长为x，过A作AO1⊥底面BCD于O1，连接BO1并延设正四面体A-BCD的外接球的半径为r，要使正四面体可以在棱长为12的正方体内任意转动，四、动态中与形成的角有关的问题例 4.在四面体PABC中，PA=PB=PC=AB，如果PA与平面ABC所成的角等于60°，则PC与平面PAB所成的角的最大值是 .解析：如图所示，过点P
考试与招生 2020年2期2020-02-12
- 2019年高考数学模拟试卷(六)参考答案
是等视体;④正四面体的三视图不同，即使嵌套在正方体中三视图可以是三个正方形，但对角线虚实线不同。故选C。18.（1）在梯形PBCD中，取AD的中点M，则CM=MD =2，所以AB⊥AD。又因为二面角P-AB-D为直二面角，所以PA⊥平面ABCD，PA⊥CD。在直角梯形ABCD中，由勾股定理得AC⊥CD。又PC∩AC=C，所以CD⊥平面PAC。又因为CD（平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD。（2）由（1）得AB⊥平面APD，以A为原点，射线AB，AD，A
中学生数理化·高三版 2019年8期2019-12-02
- 直观把握数学本质 动态提升思维品质
——从教材中一个立体几何问题例谈变式教学
思路嵌入至“正四面体”和“正方体”这两个最常见的直观载体中，以期引导学生梳理立体几何中的重难点定理和应用，深化学生对“点、线、面”位置关系的认知，从而达到“示以思维之道”教学目的.2 课堂教学实录2.1 设置变式情境，培养类比思维方式师：各位同学，在平面几何里有这样一个问题：【问题1】“若P是边长为a正三角形内一点，求P点到该三角形三边的距离之和”.你能给出解题思路吗？图1师追问：从中你可以看出有何种结论？生：正三角形内任意一点到三边的距离之和是一定值，为
数学通报 2019年10期2019-11-26
- 也谈正四面体的前世今生
的几何体，而正四面体是其中最简单的正多面体，并且它与另外一个特殊的几何体——正方体有着千丝万缕的联系，因此在各种考试中它深受命题老师的青睐。要想在碰到四面体时能犹如庖丁解牛一般地游刃有余，教师有必要且必须弄清楚它的来龙去脉，也就是它的前世今生是什么。关键词：高中数学;关系问题;正四面体图1：如图取正方体的四个顶点M，B，D，S并连接MB，MS，MD，SD，SB，DB。因为四面体M-BDS的各棱均为正方体的面对角线，因此各棱长均相等，所以四面體M-BDS为正
新课程·下旬 2019年8期2019-09-12
- 推理与证明综合演练卷答案与提示
角形的边对应正四面体的面，也即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体中各正三角形的中心。故选C。7.A 分别令n=1，2，3，所以8.C9.D 用反证法证题时一定要将对立面找全。在①中应假设p+q＞2，故①的假设是错误的。而②的假设是正确的，故选D。10.Af(x)=x3+x是奇函数，且在R上是增函数。由a+b＞0，得a＞-b。所以f(a)＞f(-b)，即f(a)+f(b)＞0。同理f(a)+f(c)＞0，f(b)+f(c)＞0，所以
中学生数理化(高中版.高二数学) 2019年4期2019-05-13
- 关于四面体一个不等式猜想的证明
想设rij是正四面体A1A2A3A4内任意一点P到棱AiAj(1≤i②当且仅当P为正四面体A1A2A3A4中心或顶点时取等号.本文将证明不等式②成立，从而否定了唐立华提出的猜想.为此我们需要以下引理.③根据△ABC的对称性，不等式③等价于④下面证明不等式④，为叙述方便记:下面对以上五项作估值：所以192ABCM-[(3M+C-A-B)2-4AB-12MC]2≥0.证毕.不等式②的证明记∠PAiAj=αij(i≠j)，则+R2(sinα21+sinα23+s
中学数学教学 2019年1期2019-02-21
- 可折叠正四面体地震避难所设计研究
发一种可折叠正四面体结构地震避难所，采用新型动态支点铰链结构设计，结合有限元分析，获取空间正四面体内部应力分布。结果表明：顶部承压时，正四面结构中上部区域应力较大，可适当增加此部分结构厚度保证安全;楼板冲击荷载作用楼层越多，正四面体所受应力越大，但其超过4层作用后结构所承受应力值增长幅度有限，进而从侧面体现正四面结构对超荷载作用缓冲能力强，结构安全稳定。关键词：地震;折叠;正四面体;应力中图分类号：P315 文献标志码：A0 引言
中国新技术新产品 2018年19期2018-12-08
- 高中数学《立体几何》单元教学微型专题
异面三垂直法正四面体中，三对侧棱互为异面直线，且三对侧棱之间两两垂直，称其为“异面三垂直”，此时正四面体的外接球可以视作以正四面体棱为面对角线的正方体的外接球。例3：求棱长为的正四面体的外接球的表面积。分析：正四面体中，三对侧棱、、 “异面三垂直”，此时四面体的外接球可以视作如图所示的正方体的外接球。解：如图将正四面体放到正方体中，则正四面体的外接球既长方体的外接球。正四面体边长为 正方体的棱长为，正方体的体对角线为。外接球半径外接球表面积基金项目：甘肃省
天津教育·下 2018年5期2018-10-21
- 立体几何中的常见模型化方法
就可得到一个正四面体.解 如图4所示，构造一个棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，连接AB1，AD1，AC，CD1，CB1，B1D1，則四面体B1-ACD1为符合题意的四面体，它的外接球的直径AC1=，所以此正方体外接球的表面积S=4πR2=3π.选A.解后反思 正四面体的体积也可通过这种切割的方法求得.由图形分析可知，正四面体的体积是它的外接正方体体积的}.若正四面体的棱长为a，则其体积为变式3 四面体A-BCD中，共顶点A的三条棱两两互相垂直，
高中生·天天向上 2018年5期2018-07-24
- 用类比思想来认识初、高中几何的几个结论
二维平面)和正四面体的内切球与外接球(三维空间)平面几何中： 等边三角形有且只有个内切圆与一个外接圆，其圆心为等边三角形的中心.如图1等边△ABC的边长为a，则有以下四个结论:空间几何中：正四面体有且只有一个内切球和一个外接球，其球心是正四面体的中心.如图2若正四面体的棱长为a，亦有上述类似的四个结论:下面求解一下.如图2，过A作AO′⊥面BCD,垂足为O′.连结O′D.在Rt△AO′D中：∴正四面体的高设正四面体的中心为O，则O即为其内切球的球心，亦为外
数理化解题研究 2018年4期2018-05-09
- 跳不出“长方体”掌心的“三棱锥”
意识到把这个正四面体置于一个正方体结构中(如图2)，则瞬间得到结果，所求距离就是该正方体的棱长，为1，选A.点评正四面体的可以通过正方体切割得到，当然正四面体也可以还原为正方体. 正四面体的六条棱就是这个还原正方体的六条面对角线.从而它们之间的关系显而易见. 同学们试试这个问题：已知正四面体的俯视图如图3所示，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个正四面体的体积为 .二、共点的棱两两垂直的三棱锥↔长方体图4点评这是2012年高考辽宁理科试题，以侧棱两
数理化解题研究 2018年4期2018-05-09
- 处理球的“内切”“外接”问题
接球问题例1正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之.解如图1所示，设点O是内切球的球心，正四面体棱长为a.由图形的對称性知，点O也是外接球的球心.设内切球半径为r，外接球半径为R.正四面体的表面积S表=4×34a2=3a2.正四面体的体积VA-BCD=13×34a2×AE=312a2AB2-BE2=312a2a2-33a2=212a3.∵13S表·r=VA-BCD，∴r=3VA-BCDS表=
数学学习与研究 2017年24期2018-01-11
- 正多边形与其同心圆有关的两个性质的推广研究
文以正方体、正四面体为研究对象,把性质(I),(II)在空间推广,得到定理1设球面O为正方体ABCD-A1B1C1D1的同心球面(即球心在正方体中心的球面),P为球面O上任意一点,则P到正方体各顶点的距离平方之和为定值;P到正方体各面所在平面的距离平方之和为定值.图2证明 设正方体棱长为2a,建立如图空间直角坐标系,球面O方程：x2+y2+z2=R2,P(x0,y0,z0),A(a,a,a,),B(-a,a,a),C(-a,-a,a),D(a,-a,a),
中学数学研究(广东) 2017年21期2017-12-06
- 为什么粽子是正四面体？
第一，正四面体的粽子符合简洁原则，只用1叶或2叶就能包成，而长方形大概需要3至4片叶子。第二，它符合力学原则和相对密封性原则。四个面都能用到完整的叶片，不需要多余的弯折，包法对叶脉的力学结构比较“温和”。如果是方形的粽子那么任何一个面要与其他面都不衔接，想不让米漏出来需要把叶子都折起来内扣。第三，它符合力学原则，有类似三角形稳定性的性质，在入水过程中可保结构稳定。第四，它考虑了煮熟粽子的加热效率，正四面体是除了球体以外表面积最大的多面体。第五，正四面体的粽
东方企业家 2017年8期2017-08-29
- 钯正四面体纳米晶及超薄纳米片的可控合成
0074)钯正四面体纳米晶及超薄纳米片的可控合成贺 星，李冬晓，聂碧阳，赵燕熹，黄 涛*(中南民族大学化学与材料科学学院 催化材料科学国家民委-教育部重点实验室，湖北 武汉430074)以Pd(acac)2为前驱体、聚乙烯吡咯烷酮(PVP)为稳定剂、N,N-二甲基甲酰胺(DMF)为溶剂、CO和葡萄糖(C6H12O6)为协同还原剂及形貌控制剂，通过调节前驱体用量，在100 ℃下油浴反应3 h，可以控制得到正四面体Pd纳米晶或超薄Pd纳米片，最适宜Pd(aca
化学与生物工程 2017年3期2017-06-01
- 利用“三维构型”深化晶体组成结构
体结构1.“正四面体”常见构型（1）以CH4 、CCl4等为代表的单分子构型（如图1所示），该“正四面体”的形成是以碳原子为中心，4个氢原子或4个卤原子形成正四面体构型。（2）以P4为代表的单分子构型（如图2所示），该“正四面体”的形成是以4个磷原子形成正四面体构型，每个磷原子与另外的3个形成三个共价键。（3）以金刚石、晶体硅为代表的立体网状正四面体构型（如图3所示），该构型是以每一个原子为中心，另外的4个原子与之相连，从而形成正四面体的构型，这也是形成该
中学化学 2017年3期2017-03-28
- 多面体的外接（内切）球半径的求法举要
π.4用结论正四面体的外接球与内切球的球心重合于正四面体的高线上一点，外接球与内切球的半径之和等于正四面体的高，外接球的半径等于内切球半径的3倍，外接球的半径等于正四面体棱长的64，内切球的半径等于正四面体棱长的612.例4如图6所示为某几何体形状的纸盒的三视图，在此纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为（）A.33B.13C.24D.324解析显然由三视图还原而成的纸盒是棱长为3的正四面体，利用上述结论可得
中学数学杂志(初中版) 2016年6期2017-01-05
- 两招制胜几何体与球的切、接问题
.方法1 过正四面体的高AG所在直线和正四面体的一条侧棱AB作出组合体的截面如图1,找准球心位置,构造三角形求解半径.在Rt△ABG中,由勾股定理可求得在 Rt△ABE中,由射影定理可求得AE即直径2R＝图1 图2 正四面体外接球的球心在高线上,半径是正四面体高的3/4.两招制胜 几何体的外接球问题:一方面,可以考虑作组合体的合适的截面,在截面中找到球的半径和所给棱长的关系;另一方面,也可以考虑所给几何体是哪个常见几何体(长方体、正方体、棱柱)的切割后的图
高中数理化 2016年23期2016-12-19
- 对称相交圆柱的研究
了四个圆柱沿正四面体对称轴方向，六个圆柱沿正方体面对角线方向，六个圆柱沿正十二面体面心连线方向，它们公共相交部分的顶点坐标，表面积和体积.利用数学软件，绘出了它们的三维图形.相交圆柱； 正多面体； 体积1 引 言高等数学中的多重积分以及曲面积分，一个很重要的应用是求封闭曲面围成立体的表面积和体积.这些曲面，除了最典型的球面，圆柱面等，还有旋转曲面[1]和二次曲面[2].还有一种曲面，看起来很简单，但实际计算很麻烦.这种曲面就是圆柱面的组合，所包围的立体称为
大学数学 2016年5期2016-12-19
- 球的接、切问题处理策略
目的。例7 正四面体的内切球、与棱相切的球、外接球这三类球的半径之比为。解析 设正四体的棱长为1，外接球和内切球半径依次为R、r，由正四面体三个球心重合及其特征，则正四面体的高评注 正四面体的棱长为a，高为h，外接球、内切球的半径分别为R、r，相邻两个表面所成的角为θ，则，其推导方法中隐含着等体积变换和分割法。如果将正四面体纳入正方体中得到其伴随正方体，正四面体的体积等于其伴随正方体体积的，正四面体的外接球和其伴随正方体的外接球是同一个球，正四面体的棱长等
青苹果 2016年12期2016-11-02
- 对正四面体的研究性学
中 范世祥对正四面体的研究性学安徽省和县三中范世祥正四面体是中学数学立体几何中最经典的几何体之一，以此为载体的试题屡见不鲜。本文针对正四面体进行研究性学习，研究的内容和方法对立体几何的学习有启发和迁移作用。一、正三角形的研究正四面体的每个面都是正三角形，根据空间问题平面化思想，为了更好地研究正四面体，我们先从正三角形开始说起。问题1已知正三角形的边长为a，分别计算它的高、面积、外接圆的半径以及内切圆的半径。解析如图1，结合解三角形知识，容易求出以下四个参数
青苹果 2016年11期2016-08-31
- 一道习题的思考
叠后得到一个正四面体.我们先来思考：在平面中,若正三角形ABC边长为a,如何求它的内切圆和外接圆面积呢?图2在正三角形中,我们可以通过等面积法求出其内切圆半径,再根据其内切圆半径和外接圆半径之和等于正三角形的高,求出其外接圆半径.那么推广到正四面体能不能用类似的方法解决其内切球半径和外接球半径问题呢?图3例题中将等腰梯形如图折叠就可以得到棱长为a的正四面体,下面我们来求它的内切球半径和外接球半径.设正四面体内切球半径为R,球心O把正四面体分成四个三棱锥O-
中学数学教学 2016年3期2016-07-08
- 一题多解 启迪思维
中隐藏着一个正四面体。解法3：如图3连接AO，BO，由已知得AO=BO=CO=AB=BC=AC=1，∴三棱锥O-ABC是正四面体。∵AO是?SAC的中线∴∴（棱长为的正四面体的体积为）分析4：利用相似性求锥体的高。 解法4：由解法3知：三棱锥O-ABC是棱长为1的正四面体，∴SC（OC）在面ABC内的射影为∠ACB的角平分CP∴过O做CP的垂线OD就是O-ABC的高，∴过P做SQ的垂线OQ就是S-ABC的高，∴（棱长为a的正四面体的高为）∴分析5：利用正四
都市家教·下半月 2016年2期2016-05-30
- 谈构造立体几何模型解题
例4如图4，正四面体O—ABC的各棱长均为1,点D,E分别为棱OA,BC的中点.(1)求DE的长；(2)点O到平面ABC的距离．分析由于正四面体可以放在正方体中得到,所以,我们可以将正四面体O—ABC放到一个正方体中，如图5所示.(2)求点O到平面ABC的距离,可以采用等积法，即VO-ABC=V正方体-4VG-OAB.设点O到平面ABC的距离为h,则本文从四个方面阐述了利用构造几何模型的来进行解题.构造几何模型能使问题从一般到特殊,从抽象到具体,从陌生到熟
高中数学教与学 2016年6期2016-04-25
- 立体几何中的“割”与“补”
证棱长为a的正四面体内任意一点到各面距离之和为一常数a。证明：用分割的思想，如图1，任取正四面体内一点E，连接EA，EB，EC，ED.可以将正四面体A-BCD分割成四个小四面体E-ABC，E-ACD，E-ABD，E-BCD，并且分别设它们的高为h1，h2，h3，h4.易知，h1，h2，h3，h4就是E点到各面的距离则VA-BCD=VE-ABC+VE-ACD+VE-ABD+VE-BCD即S△BCD·h=S△ABC·h1+S△ACD·h2+S△ABD·h3+S
新课程学习·中 2015年4期2015-06-11
- 正四面体的置换群
行了计算,在正四面体自同构群G 中，G=H∪x2H∪x3H∪x4H其中H 是保持顶点1不变的对称变换的集合，且正四面体置换群的阶数为24.1 预备知识1.1 群论知识定义1[1]设G 为群，H 是G 的一个非空子集，如果H 关于G 的运算也构成群，则称H 为G 的一个子群，记作H≤G.定义2[1]设H 为群G 的一个子群，a∈G.其中叫做子群H 的一个左陪集.定义3[2]设σ 为集合A 的一个一一变换，其中A 是一个含有n 个元素的集合，不妨记为A={1,
长治学院学报 2015年2期2015-04-26
- 补 形
——求解三棱锥外接球半径的一条重要途径
例2.已知一正四面体的棱长为4，则其外接球体的体积为________.思路：补成“正方体”解析：由于连接正方体的六条面对角线可以形成一个正四面体，因此，可将正四面体补成一个正方体，且它们拥有相同的外接球体（图4）.再过该正方体的一组对面上的对角线作轴截面，易得外接球体的半径为，从而其体积为图4例3.已知三棱锥P-ABC 中，底面ABC 为正三角形，边长为2，侧棱PA⊥底面ABC，且PA=2，则其外接球体的半径为 .图5 图6 图7思路一：补成“直三棱柱”思
新课程(中学) 2015年11期2015-04-14
- 柏拉图的多面体世界
体只有五种：正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体。这五个正多面体被称为“柏拉图多面体”。它们当然不是柏拉图发明的，但是最早对它们进行研究的就是柏拉图和他的“弟子们”。柏拉图不仅是个著名的哲学家，看来还很有数学头脑呢！不过，柏拉图研究正多面体并不是为了研究数学问题。他用这五个立体图形来解释世界，正四面体代表火，正六面体代表土，正八面体代表气，正十二面体代表水，正二十面体代表宇宙。这跟我们古代的金木水火土真是相似啊。动手制作自己的柏拉
数学大王·中高年级 2014年1期2015-02-12
- 关于正四面体的“点点滴滴”
永纯【摘要】正四面体是一种简单、对称的多面体，由于它的各条棱都相等，所以有十分多的性质，也正因为它的特殊性，正四面体也成为历年高考的重点考查内容.关于正四面体的计算很复杂，牵扯到空间与平面，如果掌握了一些基本的性质和正四面体的有关数据，这会大大减少计算量，增加了正确的可能性.下面我会为大家介绍一些关于正四面体的基本定义、基本性质、基本性质的有关推导、典型例题的解法.【关键词】正四面体;基本性质;例题讲解;证明一、正四面体的基本定义正四面体是由四个完全相同的
数学学习与研究 2014年21期2014-10-21
- 数轴在化学中的应用
磷（P4）为正四面体形，4个磷原子位于正四面体的顶点，故每摩尔P4含有的共价键的数目为6NA；CH4也为正四面体形，碳原子位于体心，四个氢原子位于正四面体的顶点，故每摩尔CH4含有的共价键的数目为4NA；金刚石为空间网状正四面体形，每个碳原子与周围的四个碳原子成键，由于每个碳碳键被两个碳原子共用，相当于每摩尔碳原子，构成2NA个共价键；SiC、SiO2的空间构型与金刚石类似，每摩尔SiC、SiO2共价键的数目为4NA个； 石墨烯为单层石墨，结构简式如右图所
中学化学 2014年1期2014-04-23
- 巧建模型 快速解题
：碳原子位于正四面体的中心，4个氢原子分别位于正四面体的四个顶点上（各个面都是正三角形的四面体叫做正四面体，到正四面体四个顶点的距离都相等的点叫做正四面体的中心）.设碳原子与4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ，则cosθ=_____________.图1分析：本题如果放在正四面体中直接求解，比较麻烦.先构造一个正方体，如图2，A-BCD为正四面体，正方体的中心就是碳原子，∠DOC即为θ.图2评注：正四面体内接于正方体，一般能用正四面体解决的问题都可以
中学数学杂志 2012年7期2012-08-28
- 四面体中的Cordon不等式
仅当四面体为正四面体A1A2A3A4时,等号成立.定理的证明需要用到以下2个引理.引理1[2]在四面体A1A2A3A4中，引理2设四面体A1A2A3A4的体积为V，则即由文献[3],可知从而由式(4)及式(5),可得当四面体A1A2A3A4为正四面体时，R=3r.由此可得如下推论1.推论1在正四面体中，定理2设四面体A1A2A3A4的侧面面积分别为S1,S2,S3,S4，相应面上的高分别为h1,h2,h3,h4，外接球和内切球半径分别为R,r,则其中∏表示
中学教研(数学) 2010年6期2010-11-23
- 极端位置成为解决几何问题的“突破口”
最小值.例2正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是________.(2006年浙江省数学高考试题)另解构造一个正方体,如图2.若将平面AEBF看作平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影构成的图形为正方形AEBF.因为AB=1，所以若将ABH看作平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影构成的图形为三角形ABH.因为AB=1，所以图2图3例3如图3,在棱柱的侧棱A1A和B1B上各取一动
中学教研(数学) 2010年5期2010-11-22
- 也谈平面与空间的类比
形ABC，③正四面体A—BCD的中心G的位置.［1］结论：①线段AB的中心G在线段的中点，即GA∶GB=1∶1.②正△ABC的中心(也就是重心)G满足GA∶GM=2∶1，其中M点为边BC的中心(即中点).③正四面体A—BCD的中心G满足GA∶GM=3∶1，其中M为底面正△BCD的中心.证明(略).从线段到正三角形到正四面体，是从一维直线到二维平面到三维空间的拓广，而结论从1∶1到2∶1到3∶1也是“类比”的猜测.把这种猜测的似真性当作肯定性那是愚蠢的，但是
中学数学研究 2008年1期2008-12-10
- 构造正四面体巧解立体几何问题
的几何体——正四面体，并将问题放入其中，充分利用正四面体的点、线、面及角的特殊性，将使得问题更清晰，从而较容易的解决这个问题.本文就此举例说明构造正四面体在解题中的作用.一、构造正四面体求点与面的距离问题例1 A、B、C、D是空间不共面的四点，与这四点距离相等的平面个数最多有个.解：如图1，以A、B、C、D为顶点构造一个正四面体，在以A为顶点，BCD为底面的正三棱锥中，过高的中点且平行于底面的平面与这四点的距离相等，当交换顶点时，这样的平面有4个，又因为过
中学数学研究 2008年9期2008-12-09
- 正多面体种类的另一种证明
只有五种，即正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体.我们的教科书上是利用欧拉公式证明了这个结论.现在，我们用一种相对基础的方法来进行证明.设正多面体的每个面为正n边形，每个顶点引出m条棱，那么由多边形和立体图形的意义可知：m和n为大于或等于3的正整数.考虑任何一个顶点A，由它引出m条棱，故有m个相等的角以A为顶点，而这m个角的和应小于π.这个我们利用余弦定理和余弦函数在(0,π)上的单调性可以很容易地证明.我们的证明就是建立在这个结论上的.正
中学数学杂志(高中版) 2008年5期2008-11-24
- 两类几何体求值问题的极限解法
例5 若P是正四面体内一点，则点P到各面距离之和等于(）A.正四面体的棱长B.正四面体的斜高C.正四面体的高D.正四面体相对棱的距离解析 可取正四面体的顶点为点P的极限点，顶点到各面距离之和就是顶点到底面距离，即为高.因而P到各面距离之和为正四面体的高.选C.例6 正三棱锥A-BCD中，点E在棱AB上，点F在棱CD上，并且AEEB=CFFD=λ(λ>0),设α为异面直线EF与AC所成的角，β为异面直线EF与BD所成的角，则α+β的值是(）A.π6 B.π4
中学数学杂志(高中版) 2008年4期2008-07-31
- 正四面体外接球和内切球的半径的求法
凤华题 已知正四面体ABCD的棱长为a，求其外接球的半径R和内切球的半径r.分析 如图1，因为正四面体ABCD的外接球的球心O到点B，C，D的距离相等，所以O在平面BCD内的射影O1到点B，C，D的距离也相等. 又因为在正四面体ABCD中△BCD是正三角形，所以O1是△BCD的中心，进而在正四面体ABCD中,有AO1⊥平面BCD，所以球心O在高线AO1上;同理:球心O也在其它面的高线上. 又正四面体ABCD中各面上的高都相等，所以，由OA=OB=OC=OD
中学数学杂志(高中版) 2008年1期2008-02-23