立体几何中的“割”与“补”

郑晓华

在解决有些立体几何问题时，将图形进行适当的“割”与“补”，使之变成我们熟悉的简单几何体，从而获得新的解题途径，这也是解决立体几何问题的基本思想方法之一。

例一：求证棱长为a的正四面体内任意一点到各面距离之和为一常数a。

证明：用分割的思想，如图1，任取正四面体内一点E，连接EA，EB，EC，ED.可以将正四面体A-BCD分割成四个小四面体E-ABC，E-ACD，E-ABD，E-BCD，并且分别设它们的高为h1，h2，h3，h4.

易知，h1，h2，h3，h4就是E点到各面的距离

则VA-BCD=VE-ABC+VE-ACD+VE-ABD+VE-BCD

即S△BCD·h=S△ABC·h1+S△ACD·h2+S△ABD·h3+S△BCD·h4

而正四面體的每个面都是全等的三角形

所以有S△BCD·h=S△BCD·（h1+h2+h3+h4），即h1+h2+h3+h4=h=a

例二：直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E、F分别是棱AB、BB1 的中点，求直线EF和BC1所成的角。

解：本题考查异面直线所成的角。如图2，将其补成正方体，连接AB1、AD1，则AB1∥EF、AD1∥BC，则∠B1AD1就是异面直线EF和BC1所成的角，而△AB1D1是正三角形，所以∠B1AD1=60°。

例三：在正四面体ABCD中，AB⊥AC，BC⊥CD，平面ABC⊥平面BCD，AC=AB，BC=6，∠DBC=30°，求AC和BD所成角的余弦。

解：如图3，过B作BE∥CD且BE=CD，将三棱锥A-BCD补成一个四棱锥A-BECD，则∠ACE即为AC与BD所成的角。

由题设条件，得AC=3，CE=BD=4

AE2=AD2=AF2+DF2=AF2+CF2+CD2=30

所以cos∠ACE==

例四：求棱长为a的正四面体的外接球半径。

解：如图4，将正四面体A-CB1D1补成一个正方体ABCD-A1B1C1D1，则正四面体的外接球就是相应正方体（棱长为a）的外接球，所以外接球心是正方体体对角线AC1的中点O，半径等于正方体体对角线的一半，所以R=×2=。

编辑 谢尾合