一题多解 启迪思维

李昌成　车燕昭

【摘 要】一道好的高考题就是一个好的教学素材，本文研究的这道高考题从不同的角度去思考都可以成功得解，同时能很好地启迪学生的思维，达到触类旁通的目的。

【关键词】一题多解；启迪思维

一、题目

（2012年新课标，理11）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（ ）

A. B.C. D.

二、分析与解答

分析1：如图1，取AB的中点。考虑到，那么SA=SB，在?SAB和?ABC中利用三线合一可得：AB⊥面SPC，原三棱锥被分割成易于求体积的两个棱锥。

解法1：取线段AB的中点P

∵CS是球的直径 ∴ ∠CAS=∠CBS=

又∵?ABC是等边三角形∴AS=BS

∴PS⊥AB，PC⊥AB

∵PS∩PC=P∴AB⊥面SPC

∴

下面求?SPC的面积，易得，由余弦定理及三角形面积公式得：

∴

分析2：利用全等三角形将锥体再次分割成底面积和高易求的两个三棱锥。

解法2：由解法1知：，过A做，连接BP，显然BP⊥SC

∵AP∩BP=P∴CS⊥面PAB

∴

∵∴∴

∴∴

分析3 ：分析已知数据，发现锥体中隐藏着一个正四面体。

解法3：如图3连接AO，BO，由已知得AO=BO=CO=AB=BC=AC=1，∴三棱锥O-ABC是正四面体。

∵AO是?SAC的中线∴

∴

（棱长为的正四面体的体积为）

分析4：利用相似性求锥体的高。 解法4：由解法3知：三棱锥O-ABC是棱长为1的正四面体，

∴SC（OC）在面ABC内的射影为∠ACB的角平分CP

∴过O做CP的垂线OD就是O-ABC的高，

∴过P做SQ的垂线OQ就是S-ABC的高，

∴（棱长为a的正四面体的高为）

∴

分析5：利用正四面体中的线面角求高。 解法5：设SC与面ABC所成的角为θ，S-ABC的高为h

由正四面体的性质知：

∴

∴

分析6：借助正四面体的高求锥体的高。

解法6：三棱锥S-ABC与O-ABC可以看成以B为公共顶点，底在同一个面内的三棱锥，设S-ABC的高为h，则

易知， ?SAC是直角三角形，

∴

分析7：空间直角坐标系是解立体几何的一个重要工具。

解法7：借组正四面体建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz

其中D为 ?ABC的中心， x轴为∠ACB的平分线， y轴// AB，

由已知得 O（0，0，），设S（x2，y2，h）C（x1，0，0） ，由中点坐标公式得：

∴

∴

三、解题反思

解答本题通常就是切割法，若不仔细思考难以发现其他更好的解法。站在数据特征的角度，结合正四面体的定义发现了锥体中的正四面体；正四面体的线面角又提供了高的妙解；站在三棱锥底与高具有相对性的角度发现了高的更妙解法；另外相似性将空间问题平面化；空间直角坐标系也是常用解题工具。我们的思维就这样被开发了。