什么样的圆柱和圆锥可以放入正方体及正四面体内?

深圳市龙华区教育科学研究院附属外国语学校(518109)钟文体

1 问题呈现

2023 年新课标I 卷第12 题是一道源于生活的立体几何问题(物品装箱问题).题目以正方体为载体,涉及正方体的面对角线、体对角线、最大截面、内接球、内接四面体、内接圆柱以及它们的位置关系等知识,综合性较强.原题的一个亮点是没有给出图形,而正方体、正四面体、圆柱、球等都是数学中常见的“空间想象的支架”[1],也是生活中随处可见的图形.此题要求学生以“支架”为支撑构建空间图形,需要较强的空间想象的能力.笔者认为,不给出图形恰是此题的点睛之笔,以便更好地考察直观想象和逻辑推理等数学学科核心素养.此外,要想顺利解答此题还需要一定的数据估计能力.原题如下:

试题下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位: m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )

A.直径为0.99m 的球体

B.所有棱长均为1.4m 的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m 的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.01m 的圆柱体

解析对于A 选项,因为棱长为1m 的正方体的内接球直径为1m,而0.99m < 1m,所以直径为0.99m 的球体可以放入棱长为1m 的正方体内,A 正确.

对于D 选项, 忽略0.01m 的厚度, 将圆柱近似为直径为1.2m 的二维圆盘, 则问题转化为直径为1.2m 的圆能否放入棱长为1m 的正方体内.考虑正方体的最大截面EFGHIJ, 这是一个正六边形, 其顶点为正方体棱的中点,如图1 所示.可算出正六边形EFGHIJ的内切圆直径为,所以直径为1.2m 的圆可以放入棱长为1m 的正方体内,D 正确.

图1

以上对A、B、C 选项的解析都符合数学的严谨性,无可挑剔.对于D 选项,以上呈现的解析是网络上比较流行的“秒杀”方法, 适合在考场上使用.但严格来说,这样的做法其实是站不住脚的,“将0.01m 的厚度忽略”在数学上缺乏严谨性.例如, 若将D 选项的圆柱厚度改为0.02m、0.03m、0.04m 等等,那么还能忽略厚度吗? 作为教师,我们应对D 选项进行严谨的理性分析,切不可模棱两可.

2 什么样的圆柱可以放入正方体内?

我们提出以下更一般的问题.

问题1什么样的圆柱可以放入棱长为a的正方体内?

显然, 若底面半径为r, 高为h的圆柱可以放入正方体内,则底面半径不超过r,高不超过h的圆柱都可放入正方体内.因此,只需探讨什么样的圆柱恰好可以放入正方体即可,这里的“恰好放入”是指圆柱的面或边缘与正方体的接触面是紧贴着的,类似于两条曲线的相切.我们也称圆柱和正方体的这种位置关系为圆柱内接于正方体.

首先,底面直径和高都为a的圆柱恰好可以放入棱长为a的正方体内,此时,只需将圆柱底面圆心与正方体其中一个侧面的中心重合,且圆柱的高与此侧面垂直即可,如图2 所示.我们称这种放入方式为圆柱正接于正方体内.

图2

另一种方式是斜接,圆柱的底面圆心连线与正方体的体对角线重合, 图3 和图4 展示了两种典型情形, 分别为“扁平”型和“细长”型.

图3

图4

那么, 当圆柱斜接于正方体内时, 圆柱的高和底面半径之间有什么关系呢? 如图5, 设圆柱底面半径为r,底面圆心为O, 圆柱与正方体上底面的接触点为P, 根据对称性可知点P在正方体的面对角线A1C1上.易知,, 从而.因此, 圆柱的高.于是,我们得到了正方体斜接圆柱的底面半径和其高的关系.根据这一关系可知,当r= 0.6时,,从而原题的D 选项正确.至此,我们给出了D 选项的严谨解释.

图5

根据上面得到的关系,还可以求出斜接于正方体的圆柱体积的最大值.事实上,圆柱体积

求导得

3 什么样的圆锥可以放入正方体内?

对经典试题进行变式、联想、迁移可以帮助学生更深入、透彻地理解问题的本质,也有助于培养发散思维,提高问题解决能力.圆锥也是常见的“空间想象的支架”[1]之一,以上解决了正方体内接圆柱问题,下面用类似的方法解决正方体内接圆锥问题.

问题2什么样的圆锥可以放入棱长为a的正方体内?

类似前面,只考虑恰好可以放入的情形.也分为正接(图6)和斜接两种方式(图7).正接较为简单,以下讨论斜接情形.如图7,设圆锥底面半径为r,底面圆心为O,圆锥与正方体下底面的接触点为P,类似前面可知.因此,圆锥的高.于是,我们得到了正方体斜接圆锥的底面半径和其高的关系.

图6

图7

根据这一关系,还可以求出斜接于正方体的圆锥体积的最大值.事实上,圆锥体积

从而V(r)单调递增,故当时,斜接于正方体的圆锥体积取最大值.此时,圆锥的底面为正方体最大截面的内切圆,如图8 所示.

图8

4 什么样的圆柱可以放入正四面体内?

正四面体是另一种常见的正多面体,下面将以上方法类比到正四面体中.

问题3什么样的圆柱可以放入棱长为a的正四面体内?

同样只考虑恰好可以放入的情形.为此,先回顾正三角形和正四面体中的一些有用的数量关系.

结论1边长为a的正三角形的内切圆半径为

结论2棱长为a的正四面体的高为

结论3正四面体对棱中点的连线是对棱的公垂线.棱长为a的正四面体的对棱间的距离为.设正四面体两个面的夹角为α,则.

结论1 和2 较容易证明,只证结论3.

证明如图9, 设正四面体ABCD的棱BC,AD的中点分别为M,N.连接AM,DM, 易知AM=DM, 从而MN⊥AD.同理MN⊥BC, 故MN是BC和AD的公垂线.设正四面体ABCD棱长为a, 则,从而.易知AM⊥BC,DM⊥BC,从而∠AMD为二面角A-BC-D的平面角,故∠AMD=α,因此.

图9

若圆柱的一个底面圆心和正四面体的一个面的中心重合,且圆柱的高垂直于这一个面,则称这种方式为正接,如图10 所示.

图10

不妨设圆柱的底面圆心O与正四面体ABCD的面BCD的中心重合,另一个底面所在的平面与四面体三条棱AB,AC,AD的交点分别为B1,C1,D1, 则此底面的圆周恰好是∆B1C1D1的内切圆.设AB1=B1C1=C1D1=D1B1=x(0

若圆柱底面圆心的连线与正四面体对棱的公垂线重合,则称为斜接,如图11 所示.不妨设圆柱底面圆心的连线与正四面体ABCD的对棱BC和AD的公垂线MN重合,其中M,N分别为BC和AD的中点.

图11

设圆柱与面ABC的接触点为P, 相应的底面圆心为O.根据对称性可知点P在线段AM上.设OM=x, 则.由结论3 可知, 圆柱底面半径, 圆柱高.故此时圆柱高与底面半径的关系为.此时圆柱体积求导得,从而当时,V(x)单调递增,当时,V(x)单调递减.因此,斜接于正四面体的圆柱体积的最大值为

还有其它内接方式吗?回答是: 还有.如图12 所示,此时, 圆柱的侧面与正四面体的两个面相切, 我们称这种内接方式为侧接.如图12,不妨设圆柱侧面与面ABC和面ABD相切,AB中点为M,CD中点为N,圆柱底面与面ACD的接触点为P, 与面ABC的接触点为E, 相应的底面圆心为O,圆柱底面圆心连线与面ACD的交点为F.根据对称性可知点P和点F在线段AN上.设直线OP与AB交于点Q,连接QE.

易知AB平行于圆柱母线, 故AB⊥PQ,AB⊥OE, 从而AB⊥QE, 故∠OQE为二面角C-AB-D的平面角的一半.设圆柱半径为r, 根据结论3 可知.从而,故.易知∆AQP与∆AMN相似,从而,故

图13

5 什么样的圆锥可以放入正四面体内?

问题4什么样的圆锥可以放入棱长为a的正四面体内?

也分为正接和斜接两种情形.正接较容易解决, 如图14 所示.此时圆锥底面半径为, 高为, 体积为.

图14

下面考虑斜接, 如图15 所示.图中字母的意义与图11相同.设OM=x, 则, 圆锥底面半径,圆锥高.故此时圆锥高与底面半径的关系为.

图15

此时圆锥体积

图16

类似前面可知,斜接于正四面体的圆锥一定可以“正着”放入正四面体内.

也可考虑正四面体的侧接圆锥,此时,圆锥底面半径和高的关系为.限于篇幅,不再展开讨论.

6 写在最后

原题是一道别具一格的优秀试题,虽然其中的D 选项可借助几何直观进行“秒杀”,但数学是严谨的演绎科学,作为数学教育工作者,理应弄清楚“将0.01m 的厚度忽略”的底层逻辑.这样,面对学生刨根问底的提问时,才能做到“心中有数,手中有法”,不至于乱了阵脚.一道优秀试题往往有着旺盛的生命力和深入挖掘的价值, 本文严谨地解决原试题后,将其作了进一步的引申和类比,得到了正方体和正四面体内接圆柱和圆锥的底面半径和高之间的精确关系.据此可以编制出一些变式问题,兹举例如下.

变式下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位: m)的正四面体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )

A.直径为0.4m 的球体

B.底面边长为0.5m,高为0.4m 的正三棱柱

C.底面直径为0.01m,高为1.1m 的圆柱体

D.底面直径为0.25m,高为0.45m 的圆柱体

解析设棱长为1m 的正四面体为ABCD,设其各面的面积为S,高为h,内切球半径为r.

对于B 选项,设棱AB,AC,AD的中点分别为B1,C1,D1,考虑以∆B1C1D1为底面,另一底面落在面BCD上的正三棱柱, 如图17 所示.易知, 此正三棱柱的底面边长为0.5m,高为,故底面边长为0.5m,高为0.4m 的正三棱柱可以放入棱长为1m 的正四面体内,B正确.

图17

对于C 选项,正四面体内任意两点的距离不可能超过正四面体的棱长,故高为1.1m 的圆柱体不能放入棱长为1m 的正四面体内,C 不正确.

对于D 选项, 根据本文第四节所得的正接于正四面体的圆柱的底面半径与高之间的关系, 可知当圆柱底面直径为0.25m 时, 高为,故底面直径为0.25m,高为0.45m 的圆柱体以放入棱长为1m 的正四面体内,D 正确.