一道摸底考试导数压轴题的多解、推广与背景分析

贵阳市白云兴农中学(550014)何勇

北京师范大学贵阳附属中学(550081)李鸿昌

2023 年8 月贵阳市摸底考试数学试题的第22 题是导数题,作为压轴题,试题有一定的难度,创新性极高,对考生的数学素养要求较高.试题以“牛顿迭代法”为背景,考查考生的数学阅读能力、数学运算能力和逻辑推理能力.试题有机结合了切线、零点、导数等知识,尤其是第二问解法多样,给考生较大的施展空间,具有很好的区分度.

1.摸底考试题

题目(2023 年8 月贵阳市高三数学摸底考试第22 题)牛顿迭代法是牛顿在17 世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.比如, 我们可以先猜想某个方程f(x) = 0 的其中一个根r在x=x0的附近, 如图1 所示, 然后在点(x0,f(x0))处作f(x) 的切线, 切线与x轴交点的横坐标就是x1, 用x1代替x0重复上面的过程得到x2; 一直继续下去, 得到x0,x1,x2,··· ,xn.从图形上我们可以看到x1较x0接近r,x2较x1接近r,等等.显然,它们会越来越逼近r.于是,求r近似解的过程转化为求xn,若设精度为ε,则把首次满足|xn-xn-1|<ε的xn称为r的近似解.

图1

已知函数f(x)=x3+(a-2)x+a,a∈R.

(1)当a= 1 时,试用牛顿迭代法求方程f(x) = 0 满足精度ε=0.5 的近似解(取x0=-1,且结果保留小数点后第二位);

(2)若f(x)-x3+x2lnx≥0,求a的取值范围.

2.解法探究

(1)当a=1 时,f(x)=x3-x+1,则f′(x)=3x2-1,所以曲线f(x)在x0=-1 处的切线为y-1=2(x+1),从而x1= -1.5, 且|x1-x0| ≥0.5.曲线f(x) 在x1= -1.5处的切线为, 从而, 且|x2-x1| < 0.5.故用牛顿迭代法求方程f(x) = 0 满足精度ε=0.5 的近似解为-1.35.

(2)解法1由x> 0, 得f(x) -x3+x2lnx≥0, 即.设,则

所以当a≤0 时,g′(x) > 0,g(x)单调递增,由于x→0 时,g(x) →-∞, 不合题意.当a> 0 时, 则当x∈(0,a) 时,g′(x) < 0,g(x) 单调递减; 当x∈(a,+∞) 时,g′(x) > 0,g(x) 单调递增, 则.故f(x) ≥0 当且仅当.易知g(a)单调递增,且g(1)=0,故f(x)≥0 等价于g(a)≥g(1),即a≥1.

解法2易见x> 0,不等式f(x)-x3+x2lnx≥0 等价于x2lnx+(a-2)x+a≥0,等价于.令,则

当x∈(0,1) 时,xlnx< 0,x- 1 < 0, 故g′(x) > 0; 当x∈(1,+∞)时,xlnx> 0,x-1 > 0, 故g′(x) < 0.因此g(x)≤g(1)=1,故a≥1.

解法3由题意知f(x)-x3+x2lnx≥0 等价于x2lnx-2x+a(x+1)≥0 恒成立.令g(x)=x2lnx-2x+a(x+1),则g(x)≥0 恒成立.令h(x)=xlnx-x+1,则h′(x)=lnx,故h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;所以h(x)≥h(1)=0,即xlnx-x+1 ≥0,则x2lnx2-x2+1 ≥0.又g(x)≥0 等价于

恒成立.当a-1 ≥0 即a≥1 时,g(x)≥0 恒成立,且当a=1时,g(1) = 0,等号成立.当a< 1 时,有g(1) = 2a-2 < 0,这与g(x)≥0 恒成立相矛盾,不满足题意,舍去.

综上所述,a≥1.

3.解题反思

解法1 使用的方法与我们经常使用的“分离参数”有所不同,它分离的是函数,是将x2lnx中的x2和lnx分离,我们称这样的方法为“分离函数”.之所以要这样处理,是因此x2lnx的导数仍然含有xlnx,再求导也仍然含有lnx,不方便后续的求解.而采用“分离函数”后,求得的导函数不再含有lnx,便于进一步求解.其实“分离函数”法在往年的高考题出现过.

例1(2016 年高考全国Ⅱ卷文科) 已知函数f(x) =(x+1)lnx-a(x-1).

(1)当a= 4 时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;

(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.

解(2)x> 1 时,f(x) > 0 等价于令, 则,h(1) = 0.h′(x)的分母大于0,而分子是二次函数,其对称轴是x=a-1,定义域是(1,+∞),所以比较a-1 与1 的大小.

①当a-1 ≤1, 即a≤2 时,h′(x) 在(1,+∞) 上单调递增, 所以, 所以h(x) 在(1,+∞)上单调递增,所以x> 1 时,h(x) >h(1) = 0,满足题意.

②当a- 1 > 1, 即a> 2 时, 令h′(x)_= 0, 解得,由x2> 1 和x1x2= 1,得0

综上所述,a的取值范围是(-∞,2].

评析因为函数f(x)含有(x+1)lnx, 求导后仍然有lnx,不易求出f(x)的单调区间,所以需要“分离函数”,即把x+1 与lnx分开.

解法2 是利用“分离参数”,这是处理恒成立问题中求参数取值范围的通法.需要注意的是分母的符号,尤其注意的是对导函数进行因式分解,否则将进入不断求导的繁琐境地.

解法3 先利用常用不等式xlnx-x+ 1 ≥0, 得到x2lnx2-x2+1 ≥0 后,再构造出恒等式,有一定的技巧性.

4.试题推广

当我们解完一道题后,自然很想知道命题人是怎么命制出如此精致且漂亮的试题的.下面笔者从结论出发,来分析和揣摩命题人的命题思路,然后给出命题人视角下的另一解法,最后给出试题的推广与变式[1].

先从结论出发.因为所得的结论是a≥1, 所以有,又x> 0,从而2x-x2lnx≤x+1,移项整理就得x2lnx≥x-1.据此,笔者大胆揣测命题人就是根据不等式“x2lnx≥x-1”来命制这道试题的.

下面从命题人的视角给出这道题的另一解法,读者可从中窥见本题的命制过程.

解法4因为x>0,所以

令h(x) =x2lnx-x+1,则h′(x) = 2xlnx+x-1.知当x∈(0,1)时,h′(x) < 0; 当x∈(1,+∞)时,h′(x) > 0.故h(x)≥h(1)=0,即x2lnx≥x-1.又因为

故a≥1.

评析我们熟悉不等式“xlnx≥x- 1”, 但不熟悉“x2lnx≥x-1”.命题人也正是利用这一点来进行试题命制的.

我们还可以将不等式“x2lnx≥x-1”进行推广得到

（2）尊重在先、真诚沟通原则：教师应具备接纳家长的积极态度，能因人而异，不挑剔家长，尊重每一位参与助教活动的家长。注重活动细节，让家长知晓活动的目标、意义，与家长真诚沟通。

证明设f(x) =xnlnx-x+ 1,n> 1, 则f′(x) =nxn-1lnx+xn-1-1=xn-1(nlnx+1)-1.当x∈(0,1)时, 0 1,nlnx+1 > 1, 所以f′(x) > 0,f(x) 单调递增.因此,f(x) ≥f(1) = 0, 即xnlnx≥x-1,n>1.

下面给出试题的两个变式.

变式1设f(x)=x3lnx+(2a-3)x+a,若f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.

简析.在①式中取n=3,得x3lnx≥x-1,从而,故a≥1.

变式2设,若f(x)≥0 恒成立,求a的取值范围.

简析.由x2lnx≥x- 1 得, 即.从而,故a≤1.

5.背景分析

牛顿在《流数法》中给出了求高次代数方程近似解的数值解法: 牛顿迭代法.2019 年人教A 版《普通高中教科书数学选择性必修第二册》第82 页的“探究与发现”栏目也讲解了“牛顿法——用导数方法求方程的近似解”[2].该方法是高等数学《数值分析》或《计算方法》中讲解的求解方程根的重要方法,它具有快速的收敛速度、通俗易懂的几何意义.本题以“牛顿迭代法”为背景,不仅考查考生的数学阅读能力和数学运算能力,同时也是通过求解方程的近似解来研究牛顿迭代法在高中数学中的应用.

因“牛顿迭代法”的收敛速度较快,是方程求根的一个基本方法,且与导数紧密关联,牛顿迭代法逐渐出现在各地的高考试题中,比如2007 年高考广东卷、2007 年高考四川卷、2002 年高考北京卷和2012 年全国卷等.

5.1 牛顿迭代法简介

牛顿迭代法(Newton-Raphson)也称牛顿法切线法,它的基本思想是构造一收敛点列{xn},使其极限恰好是方程f(x)=0 的解.因此当n充分大时,xn可作为ξ的近似值.

我们知道,f(x) 在点(x0,f(x0)) 处切线的斜率是f′(x0), 因此切线方程为y-f(x0) =f′(x0)(x-x0).如果f′(x0)0, 那么切线与x轴交点的横坐标是.继续这个过程, 就可以推出如下求方程根的牛顿法公式: 如果f′(x0)0,那么

如图2 所示, 继续操作可得确定的点列{xn}.显然{xn} 严格单调递减且有下界, 故可设.由于f(x) 和f′(x) 连续,对②式取极限, 得.因而有f(c) = 0.由f(x)严格单调可知方程f(x)=0 的解唯一,从而c=ξ[3].

图2

5.2 收敛速度

定理1设函数f(x)在x∗附近有二阶连续导数,若x∗是方程f(x) = 0 的一个单根,即f(x∗) = 0,但f′(x∗)0,则牛顿法至少是平方收敛的,即至少具有二阶收敛速度,且由牛顿法产生的序列{xn} 收敛于x∗, 即[4].最后,我们给出牛顿切线法的一个重要结论,并给出证明.

定理2[5]设函数f(x)在区间[a,b]上二阶可微,且满足条件:f(a)f(b)<0,且f′(x)和f′′(x)在[a,b]上均保号.那么就有:

(1)方程f(x)=0 在(a,b)内存在唯一的实根ξ;

(2)若在端点a,b中选取其函数值与f′′(x)同号的端点为x0,则用迭代公式得到的数列{xn}严格单调且收敛于根ξ;

(3){xn}满足误差公式,其中.

证明(1)由连续函数的零点存在定理知方程f(x) = 0在(a,b)内有实根.由于f′(x)保号,f(x)在[a,b]上严格单调,因此方程f(x)=0 只有唯一实根.

(2)不妨只讨论在[a,b]上f′′(x)>0 和f(b)>0 的情况.从f(a) < 0 可见在区间[a,b]上f′(x) > 0 成立.现在用数学归纳法证明迭代数列{xn}完全落在区间(a,b)内,且为严格单调递减,即有a<ξ<··· 0 和f′(b) > 0 可见x1

利用f(ξ) = 0 并在区间[ξ,b]上用拉格朗日中值定理,即可得到

其中0 <θ< 1.由于f′′(x) > 0 保证了f′(x) 严格单调递增, 因此有0 b-(b-ξ)=ξ,即有a<ξ0.现假设对于n=k有a<ξ 0 可知f(xk) > 0.于是从牛顿迭代公式和f′(xk)>0 可得到xk+1

利用f(ξ)=0 并在[ξ,xk]上利用拉格朗日中值定理,即可与k=0 的情况一样得到

即有a<ξ

(3)利用泰勒公式对误差作估计如下:

其中θn∈(ξ,xn).

注若假设f′′(x)连续,则在最后一步推导中还可以得到,因此最终的收敛速度是由右边这个数所确定的.另外,由误差计算公式可见,每迭代一次,近似值的准确的小数位的长度几乎增加一倍,即收敛速度很快.这样的算法在计算数学中称为二阶算法.

6.结语

通过对高考摸底考试试题的研究,将结论进行推广,并深入分析试题的高数背景,这不仅能很好地掌握恒成立问题的求解策略,还可以深入地理解牛顿迭代法,能把握试题的本质.因此,在数学教学中,应适当结合课程内容进行高等数学知识与思想的渗透,激发学生学习数学的兴趣,提高学生的数学知识水平和数学学科素养.