四面体中的Cordon不等式

● (沙坡头区宣和镇洪学校 夏中卫 755006)

四面体中的Cordon不等式

●张宁(沙坡头区宣和镇张洪学校 宁夏中卫 755006)

1967年,V.O.Cordon建立了涉及三角形高与边长之间的如下不等式[1]:

本文将三角形类比到四面体，得到下述定理.

定理1设四面体A1A2A3A4的侧面面积分别为S1,S2,S3,S4，相应面上的高分别为h1,h2,h3,h4，外接球和内切球半径分别为R,r,则

当且仅当四面体为正四面体A1A2A3A4时,等号成立.

定理的证明需要用到以下2个引理.

引理1[2]在四面体A1A2A3A4中，

引理2设四面体A1A2A3A4的体积为V，则

即

由文献[3],可知

从而由式(4)及式(5),可得

当四面体A1A2A3A4为正四面体时，R=3r.

由此可得如下推论1.

推论1在正四面体中，

定理2设四面体A1A2A3A4的侧面面积分别为S1,S2,S3,S4，相应面上的高分别为h1,h2,h3,h4，外接球和内切球半径分别为R,r,则

其中∏表示循环积.当且仅当四面体A1A2A3A4为正四面体时,等号成立.

由定理1的证明可知

(8)

因此

结合引理1知

结合引理2易得

定理证毕.

当四面体A1A2A3A4为正四面体时，R=3r.

由此可得如下推论2.

推论2设正四面体A1A2A3A4的四面面积分别为S1,S2,S3,S4，相应面上的高分别为h1,h2,h3,h4，外接球半径为R,则

[1] 匡继昌.常用不等式[M].3版.济南：山东科学技术出版社，2004:220.

[2] 杨路.来自四面体的挑战[J].中学生数学,1987(1)：28.

[3] 孔令恩.三角形到四面体的又一个等价变换[J].数学通讯,1996(9):32-34.

[4] 陈计，王振.Neubery-Pedoe不等式的四面体推广[J].数学通讯,1994(2)：22.