“方程的根与函数的零点”问题串设计赏析

● (绍兴市高级中学 浙江绍兴 312000)

“方程的根与函数的零点”问题串设计赏析

●封幸力(绍兴市高级中学 浙江绍兴 312000)

爱因斯坦说过：“提出一个问题，往往比解决一个问题更重要”．“问题是数学的心脏”，“数学的真正组成部分是问题和解”，如何有效地设计问题串以引起学生的思考，是保证课堂教学有效性的基础和关键．在课堂教学过程中，教师与学生的双边活动往往围绕大量的问题而展开．问题串的合理设计能更好地调动学生的学习积极性，培养学生的思维能力和创造能力，使数学的心脏跳动得更加正常.本文以“方程的根与函数的零点”的教学内容为例说明数学课问题串的设计，供大家评析.

1 探究环节

问题1观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图像(如图1)，我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间[a,b]上有零点.计算f(-2)与f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点呢？

图1

问题2函数f(x)=x2-2x-3在(-2，1)内有零点吗？

问题3在区间(2，4)内呢？

问题4这个函数符合某些特征.我们把它抽象成一般的结论，对于一般的函数f(x)，需要满足什么条件，它在某个区间上才有零点呢？

(学生发现：如果区间2个端点的函数值的乘积小于0，那么函数在这个区间内有零点.)

问题5这个条件够吗？

图2

(学生一头雾水，教师在黑板上画出一幅图(如图2).)

问题6如图2所示的函数在区间(0，5)上有零点吗？

(引起学生思维撞击.)

问题7(追问)为什么呢？

(学生会发现因为图像不是连续的曲线.)

问题8需要几个条件才能判断函数存在零点？

设计意图在探究过程中，教师始终强调“区间”这2个字，让学生明白函数零点是在某个区间上取的.通过类比得出零点存在性定理，让学生体会研究性学习的乐趣.

2 辨析环节

在学生归纳出函数零点的存在定理后，让学生谈谈针对此结论有什么疑问或想法.

问题1如果函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内一定有零点吗？

问题2这也说明了函数图像要连续,那么函数图像不是连续不断的，函数就没有零点了吗？

问题3如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，那么当f(a)·f(b)>0时，函数y=f(x)在区间(a,b)内一定没有零点吗？

问题4当f(a)·f(b)>0时,函数y=f(x)在区间(a,b)内一定有零点吗？

问题5当f(a)·f(b)>0时，函数在区间(a,b)内有时有零点，有时没有零点，那么它能作为判断函数零点的条件吗？

问题6如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，且在区间(a,b)内有零点，那么一定有f(a)·f(b)<0吗？

通过以上的讨论说明了函数在区间(a,b)上“图像连续不断”和“f(a)·f(b)<0”是判断函数有零点的2个条件.

问题7满足这2个条件时，函数在区间(a,b)上只有1个零点吗？

问题8增加什么条件可以确定函数在区间(a,b)上只有1个零点？

通过这组问题，我们发现“如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点”，这句话是正确的，我们把它作为判断函数有零点的一个定理.定理中要明确2个条件：连续和异号.因为该定理只能判断有零点，判断不了有几个零点，所以这仅仅是函数零点“存在性”定理.

设计意图在这个环节中，问题串串相接，步步深入.在得出定理的内容后，进一步挖掘定理，深入理解定理的内涵.教师的提问也是学生心中的疑问.在实践过程中由学生进行归纳、类比回答，让学生充分体验知识的生成过程.在这个环节中可以引导学生积极思考，创设一种活跃的课堂气氛.

以问题串的形式设计课堂能够使学生积极参与、自主学习.在这样的课堂教学中，学生既独立自主，又互相协作，求知的欲望被不断激活，探索的勇气在不断增强.一堂课是综合艺术的展现，是预设与生成的交融，也是师生共同探索、一起进步的平台.课堂不是教师个人的舞台，不能只展示教师的个人风采，教师的角色更像是导演，学生才是演员，才是课堂的主人.要多角度地展现学生的思维，让学生自己举例、解疑.教师的作用主要体现在创设问题情境、适时点拨、引导和调控上.正如波利亚所说：“学生的数学思想只能在学生自己的头脑中产生，而教师只能起到一个‘助产婆’的作用”.

美国心理学家布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动，思维永远是从问题开始的”.在课堂教学中，我们要以问题贯穿于整个教学过程中，使学生在设问和释问的过程中萌生自主学习的动机和欲望，逐渐养成思考问题的习惯，并在实践中不断优化学习方法，提高学生的数学素养.在教学中要开展问题式教学，教师在教学设计时要根据教学内容编写“问题串”.问题串的设计是将知识或内容问题化，问题的设计要由浅入深、由易到难，让学生层层深入，循序渐进，触类旁通.问题串的设计能使课堂学习更精彩，“数学心脏跳动得更健康”，教学效果更显著.