两类几何体求值问题的极限解法

张京林

根限是高中数学的重要概念之一，是进一步学习高等数学的工具.平时学习中多重视求极限和证明极限问题，对于作为一种重要的思想方法则缺少关注，特别在立体几何的学习中，通过观察动态过程中所处位置的极端状态(极限情况)，即当一个变量无限地接近一个定量时，此时的变量可看作此定量，本文中的几何体求值问题尤其是这样，可以避开逻辑推理和复杂运算，得到简洁理想的解题效果.

1 求取值的范围

在求几何体某些基本量的取值范围时，可循变化的趋势和范围，确定两个极限点，然后求出相应的值.

例1 正三棱锥相邻两个侧面所成的角为α,则α的取值范围是(）

A.(0，π)B.(0,π3)

C.(π3，π2）D.(π3,π)

解析 如图所示，O为正三角形ABC的中心，SO为正三棱锥S-ABC的高，把O看作定点，S看作动点，当OS→0时，两相邻侧面趋向于一个平面，此时相邻两侧面的夹角α→π;当OS→∞时，正三棱锥无限趋向正三棱柱，两相邻侧面的夹角愈来愈小，趋向于底面三角形ABC的一个内角，即α→π3. 故有α∈(π3,π). 选D.

同法可以推证正n棱锥相邻两个侧面所成角的范围是((n-2)nπ,π).

例2 正三棱锥P-ABC的底面边长为2a,E、F、G、H分别是PA、PB、BC、AC的中点，则四边形EFGH面积的取值范围是(）

A.(0，+∞)B.(33a²,+∞)

C.(36a²,+∞)D.(12a²,+∞)

解析 如图，易证明四边形EFGH为平行四边形.O为底面正三角形ABC的中心，PO为三棱锥的高，同例1，当OP→0时，平行四边形EFGH趋近于平行四边形E1F1GH(E1、F1分别是AO、BO的中点），易求平行四边形E1F1GH的面积为33a²，此时平行四边形EFGH的面积S→33a²;当OP→∞时，易知平行四边形EFGH的面积S→+∞,故选B.

例3 如图所示，三棱锥S-ABC中，底面三角形ABC是边为a的正三角形，且SB=SC=a,则SA的长度的取值范围是多少？

解析 SA的长度由二面角S-BC-A的大小来决定.当二面角S-BC-A趋向于O，即S→A,此时SA→0；当二面角S-BC-A趋向于π时，三棱锥趋向菱形ABCS.此时SA为菱形的对角线，长度为3a，即SA→3a. 所以SA的长度的取值范围是(0，3a).

2 求定值

当几何体中某些基本量变化，但不影响所求几何量仍为确定值时，可通过取一个极限点得解.

例4 已知正四棱锥S-ABCD相邻两侧面所成二面角的大小为α,侧面与底面所成二面角的大小为β，则2cosα+cos2β的值为.

解析 如图所示，O为底面中心，SO为正四棱锥的高.当OS→∞时，正四棱锥趋向于正四棱柱，此时α→π2,β→π2,则2cosα+cos2β→2cosπ2+cosπ=-1. 所以2cosα+cos2β的值为-1.也可由OS→0，此时α→π,β→0来求.

例5 若P是正四面体内一点，则点P到各面距离之和等于(）

A.正四面体的棱长

B.正四面体的斜高

C.正四面体的高

D.正四面体相对棱的距离

解析 可取正四面体的顶点为点P的极限点，顶点到各面距离之和就是顶点到底面距离，即为高.因而P到各面距离之和为正四面体的高.选C.

例6 正三棱锥A-BCD中，点E在棱AB上，点F在棱CD上，并且AEEB=CFFD=λ(λ>0),设α为异面直线EF与AC所成的角，β为异面直线EF与BD所成的角，则α+β的值是(）

A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析 因为动点E、F的位置变化，不改变α+β的值.可考虑当λ→0时，E→A,F→C,即EF→AC.因为AC⊥BD，所以α→0,β→π2,即α+β→π2. 故选D.

例7 设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为(）

A.16V B.14V C.13V D.12V

解 将P、Q置于特殊位置：P→A，Q→C1，此时仍满足条件PA=QC1(=0），易算得：V瑽-APQC=V瑽-ACC1=13V.故选C.

综上所述，遵循变量变化的规律与趋势，取变量为其中的极限状态，可以巧妙求出上述两类几何体的取值范围与定值问题.迅速、利落地解决选择、填空题问题.在平时课堂教学中，教师要不断渗透这种数学的思想与方法，不仅可提高学生的解题速度和解题能力，而且对学生的数学素养的提高也是大有裨益.

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