立体几何中的常见模型化方法

崔文 侯宇虹

建构几何模型的两个角度：一是待研究的几何体可与特殊几何体建立关联，二是数量关系有明显特征的几何背景.

例题 一个多面体的三视图如图1所示，则该多面体的体积是

A. 23/3 B. 47/6

C.6 D.7

分析该几何体的三视图为3个正方形，所以可建构正方体模型辅助解答.

解 图2为一个棱长为2的正方体.

由三视图可知，该几何体是正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V=8-2×1/3×1/2×1×1×1=23/3选A.

解后反思 大部分几何体可通过对正方体或长方体分割得到，所以将三视图问题放在正方体或长方体模型中研究，能够快速得到直观图，并且线面的位置关系、线段的数量关系明显，计算简便.

变式1 已知正三棱锥P-A BC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为____

分析 由于在正三凌锥P-ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，所以可以将该正三棱锥看作正方体的一部分，构造正方体模型.

解 构造如图3所示的正方体.

此正方体外接于球，正方体的体对角线为球的直径EP，球心为正方体对角线的中点O，且EP⊥平面ABC，EP与平面ABC相交于点F.由于FP为正方体体对角线长度的1/3，所以 又OP为球的半径，所以OP=.故球心O到截面ABC的距离

解后反思从正方体的8个顶点之中选取不共面的点，可构造出多种几何体，这些几何体可以分享正方体的结构特征.

变式2-个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为

A.3π B.4π C.3π D.6π

分析将一个正方体切掉四个大的“角”，就可得到一个正四面体.

解 如图4所示，构造一个棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，连接AB1，AD1，AC，CD1，CB1，B1D1，則四面体B1-ACD1为符合题意的四面体，它的外接球的直径AC1=，所以此正方体外接球的表面积S=4πR2=3π.选A.

解后反思 正四面体的体积也可通过这种切割的方法求得.由图形分析可知，正四面体的体积是它的外接正方体体积的}.若正四面体的棱长为a，则其体积为

变式3 四面体A-BCD中，共顶点A的三条棱两两互相垂直，且其长分别为1，2，3.若四面体A-BCD的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为____.

分析 共顶点的三条棱两两互相垂直且长度不相等，这具有长方体的结构特征，可构造长方体来解决问题.

解 构造一个棱长分别为1，2，3的长方体，我们可发现四面体A-BCD是这个长方体的一个“角”，它们的外接球相同.所以2R=.故这个球的表面积S=4πR2=14π.

解后反思 可构造长方体的几何体在高考中属于高频考点.本题中条件“共顶点A的三条棱两两互相垂直”可变为“共顶点A的三个面两两垂直”，这也是长方体的结构特征之一

变式4 如图5，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥上BC，DA =2，AB=4，BC=6，则球O的体积是____.

分析 DA，AB，BC的位置符合长方体三条相连接棱的结构特征，可构造长方体模型.

解 以DA，AB，BC为棱长构造长方体.设长方体的外接球O的半径为R，则长方体的体对角线长为球O的直径，即CD.所以

解后反思这种几何体的结构特征是三条棱顿次连接，并且垂直，通常称为“三节棍”模型.

变式5 由空间上一点O出发的4条射线，两两所成的角都相等，求这个角的余弦值.

分析 由于是4条射线，并且两两所成的角都相等，联想到正四面体的结构特征——正四面体的中心与四个顶点的连线两两所成的角相等.

解 构造正四面体模型，如图6所示.射线OA，OB，OC，OD两两所成的角相等，∠AOB即为所求.设正四面体的棱长为a，则正四面体的高h=由余弦定理可得

解后反思 本题也可建构在正方体中，同学们可以试一试.

变式6 已知直线l与平面a平行，P是直线l上的一个定点，平面a内的动点B满足PB与直线l所成的角为30°，那么点B的轨迹是

A.两条直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

分析 由已知条件，构造圆锥模型.

解由于P是直线l上的一个定点，平面α内的动点B满足PB与直线l所成的角为30°，所以点B在以P为顶点的圆锥侧面上.又直线l与平面α平行，所以平面α与圆锥的轴平行，即平行于圆锥的轴的平面截圆锥的侧面，可得截面图形为双曲线.选C.

解后反思本题中，点B的轨迹符合圆锥的结构特征是解题的突破口.

变式7 如图7，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是

A.圆 B.椭圆C.一条直线 D.两条平行直线

分析 考虑到三角形面积为定值，底边一定，从而P到直线AB的距离为定值，可构造圆柱模型.

解 由已知可得动点P的轨迹在圆柱面上.由于AB是平面α的斜线段，所以平面α斜截圆柱面，得到的截面图形为椭圆.选B.

解后反思本题中，点P的轨迹符合圆柱的结构特征是解题的突破口.

模型化方法的本质是根据题意进行数学建模，提升空间想象能力.对常见几何体的结构特征特别熟悉，是建构合理模型的关键.