正多面体种类的另一种证明

马　俊

我们知道，正多面体只有五种，即正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体.我们的教科书上是利用欧拉公式证明了这个结论.

现在，我们用一种相对基础的方法来进行证明.

设正多面体的每个面为正n边形，每个顶点引出m条棱，那么由多边形和立体图形的意义可知：m和n为大于或等于3的正整数.考虑任何一个顶点A，由它引出m条棱，故有m个相等的角以A为顶点，而这m个角的和应小于π.这个我们利用余弦定理和余弦函数在(0,π)上的单调性可以很容易地证明.我们的证明就是建立在这个结论上的.

正n边形的每个内角为(1-2n)π，则有(1-2n)π≥(1-23)π=π3，当且仅当n=3时等号成立.这样m<2ππ3=6，即m只可能取3，4，5.正三角形，正四边形，正五边形的每个内角分别为π3,π2,3π5.所以若m=3，n可能取3，4，5；若m=4，n只可能取3；若m=5，n只可能取3.故只有如下五种可能的情况：

mn类型

33正四面体

34正六面体

35正十二面体

43正八面体

53正二十面体

而且我们可以用几何方法做出这五种正多面体，且不可能再有其他的情况，故多面体只有五种.

这种方法，我们没有用欧拉公式，只是用初等的办法就将其解决了.数学上还有许多较困难的问题可以用初等方法进行解决，希望同学们可以经常思考问题并提出问题.

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