真实有效的课堂源自充分的“问题诊断”

叶事一　林　威

在教学设计中“问题”诊断这个环节最重要，问题诊断主要表现在：设计者根据自己以往的教学经验、数学内在的逻辑关系以及思维发展理论，对本内容在教与学中可能遇到的障碍进行预测，并对出现障碍的原因进行分析（不同的学生会出现不同的教学问题，这也是在分析过程中要加以注意的），并在上述分析的基础上指出教学重、难点实践证明问题诊断是否充分、到位直接关系到课堂教学的成功与否

1 “问题”诊断让预设更充分

教学设计中一个不容忽视的问题是使预设性、选择性、生成性取得和谐与平衡，使课程学习因预设而获得高效益，因选择性和生成性而充满创造力是否对可能发生的情况进行多种预测并设计备用方案，在教学过程中，当数学思维与预设方案不同时，教师要因势利导，而不是生硬地阻断学生的思维这时可能是冒险的：如果预设不充分，学生的回答不着边际，老师的基本功不扎实或课堂的机智不够，会造成课堂的混乱；也有可能使课堂出现“精彩不曾预约”的理想效果

1.1 概念的“解构”是否到位？

当前教学中出现的许多问题都与教师自己的数学理解不到位有很大关系，有些老师自己不能准确把握教学内容，对于哪些是重点、核心心中无数，以致教学中出现“眉毛胡子一把抓”，数学核心概念和思想方法得不到应有重视，而细枝末节的东西却让学生反复训练；也有的老师以自己所教班级学生好为借口，“深挖洞，广拓展”，无限地扩张内容、拔高要求殊不知这样的教学不但不能达到使学生深刻理解数学的效果，反而还会因为过分追究细枝末节而扰乱了学生的思路，陷于具体细节不能自拔，最终干扰了学生的数学理解

典型案例1：一位老师在教学“双曲线及其标准方程”时，在双曲线的定义上舍得花时间，从双曲线的产生过程中细致地探究它所满足的几何条件；用图形语言、日常语言、数学符号语言表述定义等一节课中用三分之二的时间学习定义，由于定义认识深刻、全面，再加上很好地利用了椭圆的学习经验，使学生在后续知识的学习中轻松自如， 取得了很好的教学效果

典型案例2：2007浙江省优质课评比**老师（省一等奖，课题：《2.1.1合情推理》）从一个问卷调查（某课题组为了解本市的高中生数学学习状态,对四所学校做了一个问卷调查）再结合图片、生活实例等详细的将归纳推理的两个特征很好地解构到位，润物细无声，知识化无痕，效果非常好

典型案例3：2007温州市高一新课程培训会上一位老师执教《等差数列》时，花了十几分钟时间在数列后一项与前一项的差是一个定值上做许多无谓的纠缠，弄的学生一头雾水，对概念的解构很不到位，也体现了老师驾驭课堂的能力不强

典型案例4：2007浙江省优质课评比**老师

抛砖引玉x3+3x-1=0

（1）此方程是否有解？（2）能求出它的解吗？

一元三次方程的求根公式：方程a3x3+a2x2+a1x+a0=0(a3≠0)

（2）能求出它的解吗？

（2）能求其近似解吗？

点评 首先一元三次方程的求根公式是不做要求的，其次张未华老师试图让学生知道用公式不可取，知难而退求近似解，从而引出我们重点要研究的方程近似解这个课题笔者认为对概念的外延作深入的分析的“解构”值得商榷（这样会分散学生的注意力，不利于二分法思想的理解和掌握）

典型案例5：2007浙江省优质课评比**老师（省一等奖，课题：《2.1.1合情推理》），他将合情推理的归纳推理和演绎推理在一个课时中都讲解，笔者认为这样会使得学生对两个概念理解不到位

结论：对概念的“解构”和概念核心的确定、内容所反映的思想方法的确定等，是影响教学设计和课堂教学的“瓶颈”当然，在此基础上，选择怎样的载体（教学内容）、通过怎样的过程落实概念的核心和思想方法，也是需要深入思考的所以，在今后的研究中，首先要把概念的“解构”和概念核心的确定、内容所反映的思想方法的确定等作为重点；其次，在搞好教学设计和研究课的基础上，针对核心概念和思想方法的教学，开展深入的反思活动并提出改进措施，不断提高教学设计的能力，也是我们的重点

1.2 学生的行动有否精细的设计？

认知学习理论告诉我们，数学学习过程乃是新的学习内容与原有的数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程随着课程改革的深入，数学教学越来越关注学生的独立思考、自主探究，强调使学生经历完整的学习过程，让学生通过自己的观察、试验、操作、推理、交流等获得对数学的理解，并能用数学解决各种问题课堂中与同学的合作和交流受到了普遍的欢迎，一些公开课、示范课也必须要同学们在老师的指导下“讨论讨论”事实上，课堂中的合作交流客观上受到时间、课堂氛围、小组成员间的兴趣差异等因素的限制通过各种案例的分析，我们应该对课堂中的合作交流采取更加审慎的态度，因此我们应该对学生的课堂行动有精细的设计：交流些什么？交流的点在哪里？哪些时间交给学生？等等

1.3 “问题”诊断要对可能遇到的障碍进行充分的分析

“问题”诊断的重点是对本内容在教与学中可能遇到的障碍进行预测，并对出现障碍的原因进行分析，这个工作只有越充分和到位才能使课堂教学越成功成功的案例有：

典型案例6：《用二分法求方程的近似解》可能遇到的障碍是：怎样找到那个区间，算到什么时候结束，这个思想的本质是什么等等

典型案例7：§2．2《离散型随机变量》可能遇到的障碍是：（1）学生对于为什么要引入离散型随机变量会产生困惑，其原因是学习者对新概念的陌生感和必要性的探究欲望是人的认知规律决定的，而随机变量和离散型随机变量又是中学阶段少见的概率理论中一个实际应用型概念（2）在探究随机变量与随机试验结果如何对应？这种对应的本质是什么等问题时会出现障碍，原因在于一些随机试验本身还不是纯数学化的，需要学生具有较强的数学应用意识和数学转化思想，而现阶段的学生还不具备能很好地将随机试验结果对应成数，缺乏对映射本质的理解（3）学习过程中如何恰当地定义随机变量？定义好的随机变量能刻画所有的试验结果吗？离散型随机变量与非离散型随机变量的不同在哪？都会是学生感到困难的地方，其原因仍然在随机变量概念的抽象性和部分学生转化能力的不足等方┟妾

2 “问题”诊断使重难点解析更到位

目前我们教学有这样的通病：没有把教学重点放在概念的概括、辨析和如何用概念进行判断上，在细枝末节、操作程序上追究过多、用时太长；普遍存在的问题是：概念、原理的概括过程中，例子太少，往往只对1~2个例子分析后就进行概括，学生独立分析、思考时间不够，支撑抽象概念的具体事例不足，导致概念理解不到位

我们强调对教学“难点”的分析，既要说清难点所在，又要说清难点产生的原因，以及突破难点的预设方案，并且最好要有针对不同原因的多套方案

2.1 要有突破难点的好方法

典型案例8：2007浙江省优质课评比**老师（省一等奖，《用二分法求方程的近似解》）：

探究:函数f(x)=玪n玿+2x-6的零点方程玪n玿+2x-6=0的根

(1)你能找出零点落在下列哪个区间吗？

A（1，2） B（2，3） C（3，4） D（4，5）

(2)你能继续缩小零点所在的区间吗？

点评：从特殊到一般，逐步缩小范围，引发学生探究的欲望

2.2 对教材的合理思考

新教材是许多专家用几年的时间精心创作出来的，我们要充分尊重和理解教材，不可随意的拔高和拓展 典型案例9：2007浙江省优质课评比**老师（省二等奖，课题：《2.1.1合情推理》）

例2 如图，已知点O在线段A1B上，|BO|=12|A1O|=1，C1为线段A1B外一点，且A1C1⊥A1B,过O作直线l⊥A1O,

连接BC1交l于D1，过D1作D1C2∥A1O交OC1于C2，过C2作C2A2⊥A1O于A2，

连接BC2交l于D2，过D2作D2C3∥A1O交OC1于C3，过C3作C3A3⊥A1O于A3，

一直继续下去，可以得到一系列的点A璶设﹟OA璶|=a璶,则a璶=

作者的意图是想和例1前后呼应，用几何方法解释代数式，可谓用心良苦，是下了一番工夫的可是在此处却成了败笔：题目表述长，学生理解有点难度

（作者的例1.已知数列{a璶} 第一项a1=2，且a﹏+1=a璶1+a璶（n=1 , 2 , …),试归纳出这个数列的通项公式.）

课堂实际情况：由于最后只剩下8分钟，讲解太匆忙了，学生的反应没有预想的好，双方的交流不到位，可见课前问题的诊断不到位

典型案例10：2007浙江省优质课评比**老师（省一等奖，课题：《2.1.1合情推理》）：

例2

根据上图点的排列规则，猜想第 (5) 个图形由多少个点组成，是怎样排列的？第 n 个图形中共有多少个点？

如图所示的一系列正方形将点阵分割成奇数序列，其模式如下：

由上述具体事实能得出怎样的结论？

如右上图所示的一系列正方形将点阵分割，从内向外扩展，你能发现什么结论吗？

点评 同样是对教材的拓展，该老师的设计降低了难度，提高了题目的新颖性，大大激发学生解题的欲望，且符合归纳推理的思想本质，是本节课的亮点

3 “问题”诊断让新课程的理念演绎得更精彩、课堂更有效

新课程理念已深入人心，绝大多数教师能以学生发展为本，努力改进学生学习数学的方式方法，并能结合内容进行选择，使教学方法具有针对性和灵活性，注意启发、引导学生，综合应用类比推理、归纳推理和演绎推理等发现和猜想一些数学结论，同时又重视基础知识的落实，在提高学生数学能力、创新意识和理性精神等方面狠下功夫

3.1 创设有效的教学情境的诊断

怎样的情境才是教学情境？目前强调“生活情境”，人为制造情境，特别是与当前学习任务没有太大关系的情境较多我们提倡基于情境的学习，认为在实际背景中学习有利于了解知识的来龙去脉，有利于知识的迁移而为了真正达到这样的目的，教师选择的情境必须能引起学生的兴趣，必须能调动学生学习的热情，必须能使学生参与复杂的、现实的、以问题为中心的活动，必须支持学生获得他们想要的知识，有利于学生发展深层次的思维活动另外切不可唯情境至上，不是所有的概念都必须通过真实的背景来学习，应该保留传统当中很多合理的成分

典型案例11：2006全国数学优质课评比中**老师在讲授《椭圆的标准方程》用“神舟五号”的太空飞行图，而且问学生“飞行路线是什么？”

点评：这个情境不好，问题也不好回答，“飞行轨迹是椭圆”是教师自己加上去的如果学生反问“为什么轨迹是椭 圆？”教师该如何回答？还是要用与当前学习任务相关的、反映当前学习内容本质的情境，这里要用有椭圆轨迹的几何要素的问题较┖锚

典型案例12：2007温州市高中数学新课程“样本校”活动中的一堂高中数学新课程“样本课”——《§1.5函数y=A玸in(ωx+)的图象（2）》在教学设计的过程中进行了三次教学设计

第一次：以物理的实际背景引入，强调物理意义

问题情境：弹簧挂着小球作上下振动（即简谐运动），它在第x秒时，相对于平衡位置（原点O）的位移y（玞m)由下面函数关系式确定：y=A玸in(ωx+),(A>0,ω>0),x∈［0,+∞)如果小球振动时，位移y随时间x满足：y=玸in(2x+π3）,x∈［0,+∞)（1）指出A，ω及迹徊⑺得魉们的物理意义；（2）该函数图象可由y=玸in玿图象怎样变化而来？

第二次：在物理背景下创设图象关系的问题情境

问题情境：弹簧挂着小球作上下振动（即简谐运动），它在第x秒时，相对于平衡位置（原点O）的位移y（玞m)由下面函数关系式确定：y=A玸in(ωx+),(A>0,ω>0),x∈［0,+∞)它的图象与y=玸in玿的图象有何关系？又如何从已知图象求它的解析式呢？

第三次：复旧引新，在学生的“最近发展区”提出问题

问题提出：昨天我们共同学习了A、ω、级院数y=A玸in(ωx+)(A>0,ω>0)图象的影响今天，让我们继续用数学的热情进一步演绎昨天的故┦陋

师：函数y=玸in(2x+π3)的图象可由y=玸in玿的图象怎样变化而来？

课堂实际情况：第三个方案得到与会老师的一致肯定，而其他老师创设的教学情景反而有去数学化的危险

典型案例13：2007浙江省数学优质课**老师（省一等奖）设计“游戏互动”的环节，通过猜年代、猜元素、猜名字、猜颜色、猜图案等生活中生动的实例紧扣本节课的主题——合情推理

荷兰数学教育家弗赖登塔尔提出了水平数学化（将日常真实情境数学化）和垂直数学化（将数学内容在形式化数学范畴中数学化）思想，认为数学应该被看待为人类的一种活动因此，数学教育的目标应该是让学生经历问题情境的整个数学化过程，学生体验到的情境也必须是具有真实感觉的，由始至终学生所经验到的皆是真实性学习相信经过有意识地将课堂教学生活化，培养学生数学应用意识，必将使得数学的教与学成为一种有生命的动感交┝鳘

3.2 强化有效提问的诊断

构建恰时恰点的问题（系列）是有效教学的基本线索，“问题引导学习”应当成为教学的一条基本原则，有了恰时恰点适度的问题，学生有效的独立思考、 自主探究、合作交流才能有平台这就要深入研究如何提问的问题问题要反映当前学习内容的本质——有意义；提问的关键是要把握好“度”，使学生处于“跳一跳摘果子”的状态，问题要达到“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”的境界具体的，可以从数学知识发生发展的关节点上、数学思想方法的概括点上、学生数学思维的症结点上等提出问题

采用“教学设计——教学实践——教学反思——改进教学设计——再教学实践”的实践活动，特别要重视问题诊断的重要性，真正有效地提高课堂教学的有效性

参考文献

［1］ 普通高中数学课程标准(实验)［S］.北京:人民教育出版社,2003,4

［2］ 盛群力主编．教学设计［M］．北京：高等教育出版社，2005．

［3］ 马复．设计合理的数学教学［M］．北京：高等教育出版社．2003．

［4］ 张奠宙，李士锜，李俊．数学教育学导论［M］．北京：高等教育出版社，2003．

［5］ 鲁献蓉．从传统教案走向现代教学设计——对新课程理念下的课堂教学设计的思考［J］．课程．教材．教法，2004（7）．

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文