奇函数
- “函数奇偶性的判断与证明”学习导航
性的必要条件。奇函数的图像关于原点成中心对称,偶函数的图像关于y轴对称。具有奇偶性的函数,其定义域必然关于原点对称;若f(x)是奇函数,则f(0)=0;奇函数在关于原点对称的区间上,若有单调性,则其单调性完全相同,最值相反;偶函数在关于原点对称的区间上,若有单调性,则其单调性相反,最值相同。2.判断函数奇偶性的三种方法:定义法,对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)=f(-x),则f(x)是偶函数,对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(
中学生数理化·高一版 2023年10期2023-10-28
- “函数的概念与性质”题型探析
定义在R 上的奇函数,且当x≤0 时,f(x)=3x2-2x+m,则f(x)在[1,2]上的最大值为____。思路分析:根据f(0)=0求m的值,由x≤0,结合f(x)是奇函数可求当x>0时的解析式,判断f(x)在[1,2]上的单调性即可求其最大值。或者,求出当x≤0时,f(x)的最小值,根据奇函数的性质,求出f(x)在[1,2]上的最大值。解:(方法1)因为f(x)是定义在R 上的奇函数,所以f(0)=0。当x≤0时,f(x)=3x2-2x+m,所以f(
中学生数理化·高一版 2023年10期2023-10-28
- 学透函数的奇偶性
a,a+1]的奇函数f(x)=x3+(b-1)x2+x,则a+b=____。解:由题意得1-2a+a+1=0,所以a=2。因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(b-1)x2-x=-x3-(b-1)x2-x,所以(b-1)x2=0恒成立,所以b-1=0,即b=1。故a+b=3。函数具有奇偶性的必要条件是定义域关于原点对称,在此条件下,若f(-x)=-f(x),则函数f(x)为奇函数;若f(-x)=f(x),则函数f(x)为偶函数。
中学生数理化·高一版 2023年10期2023-10-28
- 借助函数性质，妙用“二级结论”解题
目的。一、借助奇函数的“二级结论”解题结论1:如果f(x)是奇函数且在x=0处有意义,那么f(0)=0。结论2:若奇函数f(x)在关于原点对称的区间上有最值,则f(x)max+f(x)min=0。结论3:若f(x)是奇函数,且g(x)=f(x)+c,则g(-x)+g(x)=2c。结论4:若f(x)是奇函数,且g(x)=f(x)+c,g(x)在定义域上有最值,则g(x)max+g(x)min=2c。在利用奇函数的“二级结论”时,要对题设条件中的原函数的解析式
中学生数理化·高一版 2023年10期2023-10-28
- 利用奇函数的一个性质巧解一类二元求值问题
文着重介绍单调奇函数的一个重要性质及其在解题中的妙用,供读者参考.1 两个引例引例1(2023年全国高中数学联赛内蒙古预赛第2题)已知x,y∈R,且满足引例2(2023年全国高中数学联赛北京预赛第6题)已知x,y∈R,且满足两个引例的条件都是方程形式,引例1是无理方程,引例2是三次方程,通过解方程的方法直接求解相应的x,y较为困难.两个方程等号的左边可以记为t3＋2023t的形式,等号的右边是互为相反数的两个数.可见两个引例的已知条件、所求结果的形式相似,
高中数理化 2023年13期2023-08-19
- 抽象函数及其导函数的性质探究及应用
函数f(x)是奇函数(或偶函数),试探究其导函数f′(x)的奇偶性.探究1若f(x)是奇函数,则f(－x)＝－f(x),两边求导可得－f′(－x)＝－f′(x),化简得f′(－x)＝f′(x),所以f′(x)是偶函数.若f(x)是偶函数,则f(－x)＝f(x),两边求导可得－f′(－x)＝f′(x),化简得f′(－x)＝－f′(x),所以f′(x)是奇函数.结论1若f(x)是奇函数,则其导函数f′(x)是偶函数;若f(x)是偶函数,则其导函数f′(x)是奇
高中数理化 2023年13期2023-08-19
- “本手”多参悟 “妙手”偶得之
——对2022年新高考Ⅰ卷第12题的求解分析
(x-1)都是奇函数，则( ).A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数C.f(x)=f(x+2)D.f(x+3)是奇函数上述两道题目均没有给出函数f(x)的解析式，而只给出f(x)满足的一些条件，需要考生综合运用这些条件，以及函数相关知识求得f(x)所具有的性质.两道试题的呈现形式类似，故可以认为题1源自题2，由题2改编而来.二、“本手”剖析我们可以借鉴题2的求解方法来求解题1.题2解析：由f(x+1)为奇函数，得f(-x+1)=-f(x+1)①，由f(
中学数学研究(江西) 2023年4期2023-04-03
- 浅论函数奇偶性的判断方法
y=f(x)为奇函数；(2)若f(-x)=f(x)，则称y=f(x)为偶函数．上述定义从理论上说明，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个前提．相当一部分学生常常忽视所给函数的定义域，直接用函数奇偶性的判别式确定其奇偶性，很容易得出错误的结论．错解：由题意可得F(x)=x2，从而有F(-x)=F(x)，所以y=F(x)为偶函数．评析：上述解答没有求出函数的定义域，忽视了判断函数的定义域是否关于原点对称．正解：因为y=F(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,
中学数学杂志 2022年9期2022-12-04
- 浅论函数奇偶性的判断方法
y=f(x)为奇函数；(2)若f(-x)=f(x)，则称y=f(x)为偶函数．上述定义从理论上说明，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个前提．相当一部分学生常常忽视所给函数的定义域，直接用函数奇偶性的判别式确定其奇偶性，很容易得出错误的结论．错解：由题意可得F(x)=x2，从而有F(-x)=F(x)，所以y=F(x)为偶函数．评析：上述解答没有求出函数的定义域，忽视了判断函数的定义域是否关于原点对称．正解：因为y=F(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,
中学数学杂志 2022年9期2022-12-04
- 浅论函数奇偶性的判断方法
y=f(x)为奇函数；(2)若f(-x)=f(x)，则称y=f(x)为偶函数．上述定义从理论上说明，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个前提．相当一部分学生常常忽视所给函数的定义域，直接用函数奇偶性的判别式确定其奇偶性，很容易得出错误的结论．错解：由题意可得F(x)=x2，从而有F(-x)=F(x)，所以y=F(x)为偶函数．评析：上述解答没有求出函数的定义域，忽视了判断函数的定义域是否关于原点对称．正解：因为y=F(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,
中学数学杂志 2022年9期2022-11-18
- 浅论函数奇偶性的判断方法
y=f(x)为奇函数；(2)若f(-x)=f(x)，则称y=f(x)为偶函数．上述定义从理论上说明，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个前提．相当一部分学生常常忽视所给函数的定义域，直接用函数奇偶性的判别式确定其奇偶性，很容易得出错误的结论．例1判断函数的奇偶性．错解：由题意可得F(x)=x，从而有F(-x)=F(x)，所以y=F(x)为偶函数．评析：上述解答没有求出函数的定义域，忽视了判断函数的定义域是否关于原点对称．正解：因为y=F(x)的定义域为
中学数学杂志 2022年9期2022-11-14
- 浅论函数奇偶性的判断方法
y=f(x)为奇函数；(2)若f(-x)=f(x)，则称y=f(x)为偶函数．上述定义从理论上说明，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个前提．相当一部分学生常常忽视所给函数的定义域，直接用函数奇偶性的判别式确定其奇偶性，很容易得出错误的结论．错解：由题意可得F(x)=x2，从而有F(-x)=F(x)，所以y=F(x)为偶函数．评析：上述解答没有求出函数的定义域，忽视了判断函数的定义域是否关于原点对称．正解：因为y=F(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,
中学数学杂志 2022年9期2022-11-14
- 浅论函数奇偶性的判断方法
y=f(x)为奇函数；(2)若f(-x)=f(x)，则称y=f(x)为偶函数．上述定义从理论上说明，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个前提．相当一部分学生常常忽视所给函数的定义域，直接用函数奇偶性的判别式确定其奇偶性，很容易得出错误的结论．错解：由题意可得F(x)=x2，从而有F(-x)=F(x)，所以y=F(x)为偶函数．评析：上述解答没有求出函数的定义域，忽视了判断函数的定义域是否关于原点对称．正解：因为y=F(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,
中学数学杂志 2022年9期2022-11-14
- 浅论函数奇偶性的判断方法
y=f(x)为奇函数；(2)若f(-x)=f(x)，则称y=f(x)为偶函数．上述定义从理论上说明，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个前提．相当一部分学生常常忽视所给函数的定义域，直接用函数奇偶性的判别式确定其奇偶性，很容易得出错误的结论．错解：由题意可得F(x)=x2，从而有F(-x)=F(x)，所以y=F(x)为偶函数．评析：上述解答没有求出函数的定义域，忽视了判断函数的定义域是否关于原点对称．正解：因为y=F(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,
中学数学杂志 2022年9期2022-11-14
- 浅论函数奇偶性的判断方法
y=f(x)为奇函数；(2)若f(-x)=f(x)，则称y=f(x)为偶函数．上述定义从理论上说明，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个前提．相当一部分学生常常忽视所给函数的定义域，直接用函数奇偶性的判别式确定其奇偶性，很容易得出错误的结论．错解：由题意可得F(x)=x2，从而有F(-x)=F(x)，所以y=F(x)为偶函数．评析：上述解答没有求出函数的定义域，忽视了判断函数的定义域是否关于原点对称．正解：因为y=F(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,
中学数学杂志 2022年9期2022-11-14
- 浅论函数奇偶性的判断方法
y=f(x)为奇函数；(2)若f(-x)=f(x)，则称y=f(x)为偶函数．上述定义从理论上说明，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个前提．相当一部分学生常常忽视所给函数的定义域，直接用函数奇偶性的判别式确定其奇偶性，很容易得出错误的结论．错解：由题意可得F(x)=x2，从而有F(-x)=F(x)，所以y=F(x)为偶函数．评析：上述解答没有求出函数的定义域，忽视了判断函数的定义域是否关于原点对称．正解：因为y=F(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,
中学数学杂志 2022年9期2022-10-31
- 浅论函数奇偶性的判断方法
y=f(x)为奇函数；(2)若f(-x)=f(x)，则称y=f(x)为偶函数．上述定义从理论上说明，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个前提．相当一部分学生常常忽视所给函数的定义域，直接用函数奇偶性的判别式确定其奇偶性，很容易得出错误的结论．错解：由题意可得F(x)=x2，从而有F(-x)=F(x)，所以y=F(x)为偶函数．评析：上述解答没有求出函数的定义域，忽视了判断函数的定义域是否关于原点对称．正解：因为y=F(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,
中学数学杂志 2022年9期2022-10-31
- 2021年高考函数的奇偶性和周期性中的“一题多解”
则下列函数中为奇函数的是( )。A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1解法1:探究函数f(x)=的对称中心,利用奇函数的定义求解。由题意得f(x)=。对于A,f(x-1)-1=-2,其定义域不关于原点对称,可知不是奇函数。对于B,f(x-1)+1=,显然是奇函数。对于C,f(x+1)-1=-2,其定义域不关于原点对称,可知不是奇函数。对于D,f(x+1)+1=,其定义域不关于原点对称,可知不是奇函数。应选B。解
中学生数理化·高一版 2022年1期2022-02-13
- 函数奇偶性
对称的函数叫作奇函数。在奇函数f（x）中，f（x）和f（-x）的绝对值相等，符号相反，即f（-x）=-f（x）；反之，满足f（-x）=-f（x）的函数y=f（x）一定是奇函数。图像关于y轴对称的函数叫作偶函数。在偶函数f（x）中，f（x）和f（-x）的值相等，即f（-x）=f（x）；反之，满足f（-x）=f（x）的函数y=f（x）一定是偶函数。函数f（x）是奇函数或偶函数，我们就说函数f（x）具有奇偶性。二、函数奇偶性的性质（1）奇函数的图像关于原点对称，
数学大世界 2021年13期2021-12-02
- 数学能力月月赛(10)
若定义在R 的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x取值范围是()。A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]5.已知函数y=f(x)是R 上的奇函数,则函数y=f(x-4)+2 的图像经过的定点为()。A.(4,2) B.(-4,2)C.(4,-2) D.(-4,-2)6.已知f(x)是偶函数,且在区间[0,+∞)上是减函数,则f(-
中学生数理化·高一版 2021年10期2021-11-01
- 函数奇偶性问题的解法及题型归类
律也可以解决：奇函数×奇函数=偶函数.【详解】方法一（定义）：因为f（x）=x3（a·2x-2-x），f（-x）=-x3（a·2-x-2x），故x3（a·2x-2-x）=-x3（a·2-x-2x），整理得（a-1）（2x+2-x）=0，解得a=1.方法二（运算规律）：易知y=x3为奇函数，由于f（x）=x3（a·2x-2-x）是偶函数，因此y=a·2x-2-x也为奇函数，不妨设g（x）=a·2x-2-x，则g（-x）=a·2-x-2x，故有g（-x）=-g
广东教育·高中 2021年8期2021-09-15
- 多点思维 多点开花
——以2018年全国Ⅱ文第12题为例
-∞，+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ).A.-50 B.0 C.2 D.50二、多向思维结合抽象函数的基本性质与关系式，通过奇函数的性质、周期函数等来转化与处理，可以直接利用函数的基本性质来切入，也可以借助特殊函数的引入来解决.思维角度1(函数基本性质法1)解法1 由于f(x)是奇函数，且满足f(1-x)=f(1+x)，则有f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1)，可得
数理化解题研究 2021年19期2021-08-05
- 三角恒等变换核心考点综合演练
A.F(x)是奇函数,最小值是-2B.F(x)是偶函数,最小值是-2C.F(x)是奇函数,最小值是-2D.F(x)是偶函数,最小值是-2三、解答题26.如图1,有一块以点O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地,使其一边AD落在半圆的直径上,另两点B,C落在半圆的圆周上。已知半圆的半径长为20m,如何选择关于点O对称的点A,D的位置,可以使矩形ABCD的面积最大,最大值是多少?图1(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间
中学生数理化·高一版 2021年6期2021-06-29
- 一道高中数学练习题的拓展与思考
是定义在R上的奇函数,根据奇函数的性质易知:对于任意的x∈R,有f(x)＋f(－x)＝0.这是一个显而易见的结论.2 对原题进行变式拓展拓展1已知函数f(x)＝3x3＋2x＋1.(1)求f(2),f(－2),f(2)＋f(－2)的值;(2)求f(a),f(－a),f(－a)＋f(a)的值.解析(1)f(2)＝3×23＋2×2＋1＝29,f(－2)＝3×(－2)3＋2×(－2)＋1＝－27,所以f(2)＋f(－2)＝2.(2)f(a)＝3a3＋2a＋1,f(
高中数理化 2020年18期2020-12-09
- 厘清概念与性质 准确把握解题方向
题失误.下面以奇函数为例，谈谈厘清概念与性质在解题中的重要性，供大家参考.一、奇函数的定义及其性质一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.基于奇函数的定义，可以得到以下性质：1.奇函数的定义域关于原点(0,0)对称.2.对于定义域内的一个x0，总有f(-x0)=-f(x0)成立，特别地，当f(0)有意义时，有f(0)=0，即函数f(x)过原点.3.奇函数的图象关于原点(0,0)成中心对称，
教学考试(高考数学) 2020年4期2020-11-16
- 集合与函数核心考点综合演练
函数f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)单调递增，且f(1)=0，若f(x-1)＞0，则x的取值范围为( )。A.{x|0＜x＜1或x＞2}B.{x|x＜0或x＞2}C.{x|x＜0或x＞3}D.{x|x＜-1或x＞1}17.已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x+4)=f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)=2x2，则f(7)=( )。A.-2 B.2C.-98 D.9818.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，且在[-1，0]
中学生数理化·高一版 2020年9期2020-09-30
- 函数奇偶性的判定方法
,所以函数既是奇函数又是偶函数.2 图象法根据具有奇偶性的函数的图象特征,函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y 轴)对称.分析结合题目中给出的关系式确定函数所具有的奇偶性,再结合各选项中函数的图象确定各自相应的奇偶性进行综合判定.解由f(－x)＝f(x),可知函数f(x)为偶函数,其图象关于y 轴对称,可以排除选项A 和C.再利用f(x＋2)＝f(x),可知函数为周期函数,且T＝2,必满足f(4)＝f(2),可以排除选项D.故选B.3 性质法
高中数理化 2020年14期2020-09-10
- 分离奇函数巧解函数对称中心问题
，所以可以分离奇函数简洁解决此类问题.解法1 利用定义求出对称中心假设函数的对称中心为A(a,b)，在函数图象上任取一点P(x,y)，则对称点Q(2a-x,2b-y)也在函数图象上，即2b-y=f(2a-x).化简之后与原函数是同一个函数，根据对应项系数相等，解得a=0,b=1，则f(-a)+f(a)=2，所以f(-a)=-2.解法2 检验f(-x)+f(x)=定值.f(x)+f(-x)=ln1+2=2,则f(-a)+f(a)=2，所以f(-a)=-2解法
数理化解题研究 2020年19期2020-07-22
- 集合与函数
：f（x）不是奇函数；（2）当f（x）是奇函数时，求a，b的值；（3）当f（x）是奇函数时，证明对任何实数x，c，都有f（x）＜c2-3c+3.14.已知函数（1）求f（x）的值域；（2）设函数g（x）=ax-2，x∈[-2，2].若对于任意x1∈[-2，2]，总存在x0∈[-2，2]，使g（x0）=f（x1）成立，求实数a的取值范围.
新世纪智能(数学备考) 2020年4期2020-07-16
- 导数在f(x)±f(-x)=y(x)型函数中的应用
题.【关键词】奇函数;偶函数;单调性一、引言、定义与引理奇（偶）函数是具有特殊性质的一类重要函数，单调性是也是研究函数性态的重要内容之一.将函数的奇（偶）性以及单调性相结合，对研究某些函数或者一些不等式问题会起到事半功倍的效果.尤其是f（x）±f（-x）=y（x）型函数，其中函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的可导函数.因为函数f（x）的抽象性使得问题难度加大，在此借助导数讨论相应函数性态（如单调性，奇偶性）往往会简单易于求解.定义1[1] 设函数f（x
数学学习与研究 2020年9期2020-06-01
- 函数的奇偶性高考题赏析
函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）。解：记f（x）=x+ex，则f（1）=1+e，f（-1）=-1+e-1，可知f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），所以y=x+ex既不是奇函数也不是偶函数。依题意可知B，C，D依次是奇函数，偶函数，偶函数。故选A。例2设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）。A.f（x）g（x）是偶函数B.|f（x）|g（x）是奇函数C.f（x）|g（x）|
中学生数理化·高一版 2019年10期2019-11-07
- 大学数学：不同课程概念的相通
之处.关键词：奇函数；偶函数；对称矩阵；反对称矩阵[中图分类号]G642 [文献标志码]AUniversity Mathematics：Interconnection of Different Course ConceptsZHI Jie（Lanzhou University of Finance and Economics， School of Information Engineering， Lanzhou 730020，China）Abstract：
牡丹江师范学院学报（自然科学版） 2019年1期2019-09-10
- 几种值为0的定积分
;可积;对称;奇函数;偶函数牛顿-莱布尼兹公式（N-L公式）表明一个连续函数在区间[a，b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a，b]上的增量，即∫baf（x）dx=F（b）-F（a），其中F（x）是f（x）的一個原函数.N-L公式为定积分的计算提供了一种简单的计算方法，但对有些特殊类型的定积分，我们可以直接判断出其结果为0.【参考文献】[1]同济大学数学教研室.高等数学（上）[M].北京：高等教育出版社，1995：282-318.[2]华东师范大学
数学学习与研究 2019年12期2019-08-07
- 从一道高考试题探究函数性质的联系*
-∞,+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ).A.-50B.0C.2D.50解析:由f(1-x)=f(1+x)可得，函数f(x)关于直线x=1对称，即f(-x)=f(2+x)(1)，又由f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，可得f(0)=0,f(-x)=-f(x)(2).联立(1)，(2)两式可得f(x+2)=-f(x)，即f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以函数f
中学数学研究(江西) 2019年3期2019-04-01
- 奇偶函数的对偶性质
大家参考.一、奇函数的性质如果奇函数y=f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0.简证因为f(x)是奇函数，所以有f(-x)=-f(x).又x=0在定义域内，所以有f(0)=-f(0),移项后得f(0)=0.二、偶函数的性质如果可导的偶函数y=f(x)在x=0处有定义，则f′(0)=0.简证偶函数y=f(x)在x=0处有定义，则f(-x)=f(x)，两边关于x求导，则-f′(-x)=f′(x)，即-f′(0)=f′(0)，则f′(0)=0.例1 (2014
数理化解题研究 2019年7期2019-03-27
- 利用函数的奇偶性求函数值
(x)就叫作奇函数(或偶函数)。定义揭示了奇函数与偶函数的定义域是对称于原点的实数集。如果定义域不是关于原点对称的，则必不是奇函数也不是偶函数。因此，判断一个函数的奇偶性，应首先判断它的定义域是否关于原点对称，然后再判断f (-x)与f (x)的关系。我们注意到，在定义中，我们使用的是等式f (-x)=-f (x)[或f (-x)=f (x)]来表示函数f (x)的对称关系。事实上，这两个等式还有一些相应的等价变形可供我们利用，如等等。解：（1）函数定义
亚太教育 2018年5期2019-01-28
- 函数奇偶性的常规题型及解题策略
则称f（x）为奇函数；如果对函数f（x）定义域内任意x，都有f（-x）=f（x），则称f（x）为偶函数。这里注意定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。（2）图像法：做出函数的图像，利用奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称得出结论。分析函数常用此法。（3）变通法：判断f（-x）±f（x）=0哪一个成立。2.函数奇偶性可分为四类：奇函数、偶函数、非奇非偶、既奇且偶常见的既奇且偶函数例如y=0，x∈D。（D关于原点对称）。3.常用结论（1）奇函
速读·上旬 2018年10期2018-10-21
- 单调奇函数的一个性质及其应用
1104)单调奇函数有下列性质：若f(x)是定义在R上的单调递增的奇函数，则(1)f(a)+f(b)=0⟺a+b=0；(2)f(a)+f(b)>0⟺a+b>0；(3)f(a)+f(b)若f(x)是定义在R上的单调递减的奇函数，则(1)f(a)+f(b)=0⟺a+b=0；(2)f(a)+f(b)>0⟺a+b(3)f(a)+f(b)0.上述性质简言之：增同减反.证明简单，这里从略.这是单调奇函数的一个较为重要而且非常有用的性质，利用这个结论解决有关问题，可缩短
数理化解题研究 2018年19期2018-08-15
- 例谈函数奇偶性应用中的两类求值问题
（x）是R上的奇函数，x∈（0，+∞）的解析式为.求f（-1）的值.解1：∵f（x）是R上的奇函数∴f（-x）=-f（x），则f（-1）=-f（1）点评：利用函数的奇偶性求值主要是将未知的值或区间转化为已知的值或区间变式：设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且，求函数f（2）、g（2）的值．例 2：已知 x，y∈R 满足（x-1）3+2018（x-1）=-1，（y-1）3+2018（y-1）=1，求 x+y 的值.解：设 g（t）=t3+2018t，而且
新课程(下) 2018年2期2018-04-25
- 例谈函数奇偶性应用中的两类求值问题
（x）是R上的奇函数，x∈（0，+∞）的解析式为f（x）=■.求f（-1）的值.解1：∵f（x）是R上的奇函数∴f（-x）=-f（x），则f（-1）=-f（1）∵f（x）=■，x∈（0，+∞） ∴f（1）=■∴f（-1）=-f（1）=-■解2：设x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞），∴f（-x）=■=■∵f（x）是R上的奇函数∴f（-x）=-f（x），则f（x）=-f（-x）=-■=■则x∈（-∞，0）的函数解析式为f（x）=■，∴f（-1）=■=-■点
新课程·下旬 2018年2期2018-04-17
- 对称性在定积分、重积分中的应用
键词：对称性；奇函数；偶函数；定积分；重积分DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2017.18.212高等数学是理工类专业的一门必修的重要基础课，积分学又是高等数学的重要组成部分.运用积分区域的对称性，结合被积函数的奇偶性，往往可以简化积分的计算.在现行教材中，一般给出了积分区间关于原点对称被积函数具有奇偶性这一类定积分的性质[1-3]，对于重积分是否具有类似性质没有做过多介绍.本文归纳总结了对称性在定积分及重积分中的应用，并举例加
山东工业技术 2017年18期2017-09-12
- 浅谈如何运用奇函数研究对称中心
的描述，比如，奇函数的图像关于原点对称，即原点是奇函数的对称中心.奇函数的本质是中心对称的一种特殊情况，以非原点为对称中心的函数图像可以通过至多两次平移将其转化为以原点为对称中心的奇函数，从而达到化繁为简的目的.一、联系奇函数，求对称中心通过研究函数各个部分的奇偶性，寻找与之关联的奇函数，根据解析式之间的差异调整化简，最终锁定一个与原函数关联的奇函数，根据两者之间的图像变换，求出原函数的对称中心.例1求函数f（x）=（x+1）2+x3x2+1的对称中心.解
数学学习与研究 2017年8期2017-04-29
- 巧用奇函数的性质解数学题
班 李博亚巧用奇函数的性质解数学题湖南省岳阳市第十五中学326班 李博亚函数是高中数学中的一个重要内容，也是难点之一。主要体现在函数思想的运用，而掌握函数的一个重要手段就是分析函数的性质。从函数的性质入手来求解数学问题，也是解决函数问题的非常适用的工具。而我们在解决函数问题时往往容易忽视的地方主要体现在：一是忽视从函数的本质特性入手，如定义域、对应法则、函数的单调性、奇偶性等。二是容易忽视分析题设所给式子的结构特征。因此，我们可以从奇函数的定义出发，证明出
数学大世界 2016年20期2017-01-05
- 利用奇函数的一组性质求解竞赛试题
200)利用奇函数的一组性质求解竞赛试题梁昌金(安徽省寿县第一中学,232200)函数的奇偶性是竞赛的重点内容之一,考查内容灵活多样，特别是与函数其他性质的综合应用更加突出.这类问题从通性通法的角度来处理,显得较为繁琐，若能灵活利用函数的奇偶性的性质,常能达到化难为易、事半功倍的效果.笔者撷取近年来的数学竞赛试题为例,归纳出奇函数的一组性质及其应用.性质1 若函数f(x)是奇函数,且g(x)=f(x)+c,则必有g(-x)+g(x)=2c.简证 由于函数
高中数学教与学 2016年23期2016-12-17
- 定义在R的奇函数可以任性使用f（0）=0
（0）=0求解奇函数中的待定系数已不是新鲜问题，众所周知的是，如果函数在x=0处无定义，是不能用f（0）=0来求参的，如题目：函数f（x）+a为奇函数，求实数a的值.就上述问题，不由让笔者引起思考，倘若函数在x=0处有定义，一般的来说，定义在R上的奇函数难道就可以任性地使用f（0）=0来求参吗？笔者认为，结合具体实例来研究这个问题不失为一个好办法.例1 已知函数f（x）=a-为奇函数，求实数a的值.解：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以有f（0）=
新课程·中学 2016年1期2016-05-30
- 例析推理与证明常见错误
-1，1）上的奇函数，且[f（12）=-25]. 若[f（1-m）+f（1-2m）错解 依题意得，列方程组[f（0）=0，f（12）=-25，]解得[a=1，b=0.]所以[f（x）=-xx2+1].因为[f（1-m）+f（1-2m）又函数[f（x）]是定义在（-1，1）上的奇函数，所以[-f（1-2m）=f（2m-1）].所以[f（1-m）又因为[f（x）=-1-x2（x2+1）2=x2-1（x2+1）2]，而[-1
高中生学习·高三版 2016年1期2016-05-30
- 对一道错题的修改与拓展
(x)为R上的奇函数，且满足：f(x+2)=-f(x)，若f(2)=3，则f(6)的值为：.这是我校高一数学期中复习讲义上的一道题，学生在解本题时给出了以下两种方法：解法一：∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+2)+f(x)=0①,∴f(x+4)+f(x+2)=0②,①-②得f(x+4)=f(x),∴T=4,f(6)=f(6-4)=f(2)=3.解法二：同上可得周期T=4，又f(x)为R上的奇函数，∴f(6)=f(6-8)=f(-2)=-f(2)=-3.
中学数学研究(江西) 2016年5期2016-05-24
- 双对称图像函数的周期及其应用
f(a+x)是奇函数.定理1若函数y=f(x)的图像关于直线x=a和点(b,0)(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4(a-b)是它的一个周期.证明：因为函数y=f(x)的图像关于直线x=a和点(b,0)(a≠b)对称，由引理1及引理2知，f(a+x)=f(a-x)，f(b+x)=-f(b-x).所以f[x+4(a-b)]=f[a+(3a-4b+x)]=f[a-(3a-4b+x)]=f(4b-2a-x)=f[b+(3b-2a-x)]=-f[
中学数学研究(江西) 2016年5期2016-05-24
- 例说抽象函数问题的常用对策
f ′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)0成立的x的取值范围是()(A)(-∞,-1)∪(0,1)(B)(-1,0)∪(1,+∞)(C)(-∞,-1)∪(-1,0)(D)(0,1)∪(1,+∞)分析研究函数在(0,+∞)上的单调性,可得出f(x)的大致图象,问题就能解决.3.对称函数型关于函数图象的对称性，有以下两个熟知的结论：结论1函数y=f(x)的图象关于点A(a,b)对称⟺f(x)+f(2a-
高中数学教与学 2016年5期2016-03-30
- 定义在R的奇函数可以任性使用f（0）=0
学）定义在R的奇函数可以任性使用f（0）=0孟维帅（辽宁省大连市庄河市第五高级中学）就上述问题，不由让笔者引起思考，倘若函数在x=0处有定义，一般的来说，定义在R上的奇函数难道就可以任性地使用f（0）=0来求参吗？笔者认为，结合具体实例来研究这个问题不失为一个好办法.通过例1，发现定义在R上的奇函数可以任性的使用f（0）=0来求出参数a，但是一个例子的佐证似乎显得有些苍白，因此笔者再选一例来讨论定义在R上的奇函数是否任性的使用f（0）=0来求参.当a=1时
新课程(中学) 2016年1期2016-02-09
- 浅谈抽象不等式求解的灵活应用
因为f（x）为奇函数，所以f（a-2）>f（-a），并且f（x）在（-∞，+∞）内递减，a-2<-a.解得a评注：f（x）为分段函数，直接求解f（a），f（a-2），在代入解析式时需要分类讨论，这样求解并不简单.那我们就要透过形式看本质.题目所给的分段函数我们可以很容易得到它是奇函数，在（-∞，+∞）内递减.像这种非严格意义上的抽象不等式，也可以遵循“两步走”的解法，而取得事半功倍的效果.第一步：利用奇函数的性质达标，得到f（a-2）>f（-a）.第二步：
新课程·中旬 2015年8期2015-09-10
- 由奇函数定义扩展出的一系列性质及其应用
类特殊函数就是奇函数.由于奇函数有着独特的简洁而又优美的性质，在解题中，通过奇函数的图像特征，巧用奇函数的定义与性质，往往会发挥出意想不到的效果，就像一把开启智慧的钥匙，瞬间打开思维的大门.我们首先一起回顾一下奇函数的定义：定义一般地，如果对于函数y=f（x）的定义域A内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么称函数y=f（x）是奇函数.由奇函数的定义可知，奇函数的图像都是关于原点对称的，故函数的最大值点关于原点的对称点就是该函数的最小值点，即函数的
中学数学杂志(高中版) 2015年1期2015-03-10
- 周期函数浅思
知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x)，则f(2010)=________。分析:f(x+2)=－f(x)，根据特例1，f(x)是以4为周期的周期函数因此f(2010)=f(502×4+2)=f(2)由已知f(x)为定义在R上的奇函数因此f(0)=0因此f(2)=f(0+2)= －f(0)=0，即f(2010)=0。练习2:f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在［0，4)上单调递增，若f(x+2)也为奇函数，试判断f(x)在［4，8)
中国校外教育 2014年23期2014-11-30
- 换一些新思路去理解函数的奇偶性
同样的道理，“奇函数”这三个汉字中有一个“奇”字，奇数的“奇”，而通过f（x）=x=x1是奇函数，幂“1”也正好是奇数，那我们就大胆猜想，幂是奇数的函数都是奇函数。我们又发现，f（x）=1其实蕴含着一个信息即f（x）=1=x0，而幂“0”也是偶数，所以根据我们的猜想，f（x）=1也是偶函数。通过教材中奇偶函数的定义，可以验证我们猜想对于上述函数奇偶性结果的判断都是对的。举一例：f（x）=x4，因为幂“4”是偶数，所以f（x）=x4是偶函数。再举一例：f（x
中国校外教育(下旬) 2014年2期2014-04-26
- 换一些新思路去理解函数的奇偶性
，我们知道：“奇函数×奇函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数，偶函数×奇函数=奇函数，偶函数×偶函数=偶函数，偶函数÷偶函数=偶函数，奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数”。但是，我们怎么样，让学生轻松地记住这些结果呢？我们提出一个极其简单的记忆口诀，即“把奇函数看成负数，偶函数看成正数”，来让学生联系地记住上述结果。初中学过“负×负得正，负×正得负，正×负得负，正×正得正，正÷正得正，负+负得负，正+正=正”，这样，这个内容正好依次对应符合“奇
中国校外教育(下旬) 2014年1期2014-03-22
- 求解抽象函数解析式六法
y=f（x）为奇函数，当x>0时，f（x）=lg（x+1），求f（x）.解：∵f（x）为奇函数，∴f（x）的定义域关于原点对称，故先求x∵-x>0，∴f（-x）=lg（-x+1）=lg（1-x）.∵f（x）为奇函数，∴lg（1-x）=f（-x）=-f（x），∴当x五、赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f（x）的表达式【例8】 已知f（0）=1，对于任意实数x、y，等式f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）恒成立，求f（x）.解：对于任意实数x
中学教学参考·理科版 2014年1期2014-03-10
- 一道高考函数题的解法及其推广
＋bsinx为奇函数，所以f（lg［log210）］＋f［lg（lg2）］＝8，故选C.评注 本题考查了形如g（x）＝f（x）－C（C为非零常数）为奇函数，求f（t）＋f（－t）的值，或已知f（t）的值求f（－t）的值的函数题型.关键求出f（t）＋f（－t）的值.定理 若函数f（x）在定义域D（D关于原点对称）内是奇函数，则在定义域D内任意的x都满足f（－x）＋f（x）＝0，函数f（x）的图象关于原点O（0，0）中心对称，当函数f（x）的最值存在时，最大值
中学数学教学 2013年6期2013-09-17
- 函数奇偶性的多角度理解与应用
f（x）就叫做奇函数.如果函数f（x）是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f（x）具有奇偶性.对上述定义可从以下三个角度理解：（1）任意性：要对定义域内任意x都满足条件，所以奇偶性是函数整个定义域上的性质，区别于单调性是某个区间上的性质.（2）符号f（-x）=f（x）用文字语言描述是当自变量互为相反数时函数值相等；f（-x）=-f（x）用文字描述为当自变量互为相反数时函数值也互为相反数.（3）一般地，奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原
中学数学杂志 2012年15期2012-08-27
- 函数奇偶性在解题中的应用
数，g（x）是奇函数,若f（x）+g（x）=2lg（1+x）,求f（x）与g（x）的解析式.解: 由f（x）+g（x）=2lg（1+x），得f（x）=2lg（1+x）-g（x）．（1）∵f（x）是偶函数,g（x）是奇函数，∴ f（-x）=-f（x）,g（-x）=-g（x）.故f（-x）=2lg（1-x）-g（-x），即f（x）=2lg（1-x）+g（x）.（2）由（1）+（2）得2f（x）=2lg（1+x）+2lg（1-x）， ∴ f（x）=lg（1-x２
中学生数理化·教与学 2008年5期2008-09-08