浅论函数奇偶性的判断方法

335500 江西省万年县万年中学 徐 广

335500 江西省万年县万年一中 李 敏

函数的奇偶性是函数的重要性质，也是高考的重点与热点，更是广大高中生的易错点．学好函数的奇偶性一直是广大高中生的诉求，要掌握好函数奇偶性的判断方法，可以从以下三个方面入手．

一、 关于函数奇偶性的定义

北师大版高中数学教材中关于函数奇偶性的定义简述如下

.

设函数

y

=

f

(

x

)，

x

∈

I

，且对任意

x

∈

I

，恒有-

x

∈

I

(即定义域要关于原点对称)，(1)若

f

(-

x

)=-

f

(

x

)，则称

y

=

f

(

x

)为奇函数；(2)若

f

(-

x

)=

f

(

x

)，则称

y

=

f

(

x

)为偶函数．

上述定义从理论上说明，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个前提．相当一部分学生常常忽视所给函数的定义域，直接用函数奇偶性的判别式确定其奇偶性，很容易得出错误的结论．

例1

判断函数的奇偶性．

错解：

由题意可得

F

(

x

)=

x

，从而有

F

(-

x

)=

F

(

x

)，所以

y

=

F

(

x

)为偶函数．

评析：

上述解答没有求出函数的定义域，忽视了判断函数的定义域是否关于原点对称．

正解：

因为

y

=

F

(

x

)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)，不关于原点对称，所以

y

=

F

(

x

) 不具有奇偶性．

因此，教师在讲授新课时，一定要强调定义域关于原点对称的重要性与先决性．

类似的，函数不具有奇偶性．

例2

若函数在定义域上为奇函数，求实数

k

的值．

错解：

因为

f

(

x

)是奇函数，所以

f

(0)=0，即从而有

k

=1．

评析：

上述解法没有考虑0是否属于

f

(

x

)的定义域，而是默认

f

(

x

)在

x

=0处有定义．

正解：

由

f

(-

x

)=-

f

(

x

)，得整理可得

k

(2+2-)=2+2-，从而有

k

=1或

k

=-1．经验证，均合题意．

例3

设函数为奇函数，求实数

a

的值．

解析：

注意到函数的定义域要关于原点对称，已知

x

≠-2且

x

≠

a

，所以要保证定义域对称，则

a

=2，这是

f

(

x

)为奇函数的必要条件，经验证，符合题意．

二、 函数奇偶性的四则运算合成

在默认的最大定义域内，为互质的奇数(

p

，

q

为互质的奇数)，

y

=sin

x

，

y

=tan

x

，

y

=cot

x

为奇函数；为互质的正整数，

p

为偶数(

p

，

q

为互质的正整数，

p

为偶数)，

y

=cos

x

为偶函数；

y

=0既是奇函数又是偶函数．

在掌握了初等函数的奇偶性后，对于给定的复杂函数的奇偶性，往往不需要直接用定义方法来证明或判断，而是用合成方法处理．

设在公共定义域内，函数

f

(

x

)和

f

(

x

)为奇函数，而

g

(

x

)与

g

(

x

)为偶函数，

k

，

c

为常数，则有如下结论

.

(1)当

k

≠0时，

y

=

kf

(

x

)为奇函数，

y

=

kg

(

x

)为偶函数．特别地，当

k

=0时，

y

=

kf

(

x

)和

y

=

kg

(

x

)既是奇函数也是偶函数．(2)当

c

≠0时，

y

=

f

(

x

)+

c

不是奇函数,

y

=

g

(

x

)+

c

为偶函数．(3)

y

=

f

(

x

)±

f

(

x

)为奇函数，

y

=

g

(

x

)±

g

(

x

)为偶函数．

为奇函数，为偶函数．定义域可能会有所变化，例如和

(5)

y

=

f

(

x

)

f

(

x

)为偶函数，

y

=

g

(

x

)

g

(

x

)为偶函数．(6)

y

=

f

(

x

)

g

(

x

)为奇函数．(7)设

h

(

x

)=

kf

(

x

)+

cg

(

x

)(其中

f

(

x

)不为偶函数，

g

(

x

)不为奇函数),若

h

(

x

)为奇函数，则

c

=0；若

h

(

x

)为偶函数，则

k

=0

.

例4

判断下列函数的奇偶性．

解：

(1)

f

(

x

)在(-∞,0)∪(0,+∞)上为奇函数；(2)

g

(

x

)在

R

上的为奇函数；(3)

h

(

x

) 在上为偶函数．

例5

设

F

(

x

)=

x

+(

t

-1)

x

为

R

上的奇函数，求实数

t

的值．

解：

由题意可得

t

-1=0，即

t

=1．这里可以直接省去用

F

(-1)=-

F

(1)计算得出结果，或者由计算稍微复杂的

F

(-

x

)+

F

(

x

)=0推导得到结果．

例6

若函数在(-2,2)上为奇函数，求实数

a

与

b

的值．

分析：

因为

f

(

x

)在

x

=0处有定义，所以

f

(0)=0，可得

a

=1，所以分子为

x

，是奇函数，而

f

(

x

)为奇函数，所以分母

x

+

bx

+1必须为偶函数，即有

b

=0．

解：

因为

f

(

x

)的定义域为(-2,2)，所以有

f

(0)=0，即

a

=1，从而可得为偶函数，进而有

b

=0．这里主要应用了函数

y

=0既是奇函数也是偶函数的性质，在判断加减复合的过程中，将“杂项”变换为常数0，消除它的影响．

三、 复合函数的奇偶性

对于复合函数的奇偶性，也可以用复合法则进行判断．

设函数

y

=

f

(

t

)与

t

=

g

(

x

)分别为复合函数

y

=

f

[

g

(

x

)]的外层函数(简称外函数)和内层函数(简称内函数)，则

y

=

f

[

g

(

x

)]的奇偶性如表1所示

.

表1

y=ft t=gx y=fgx 奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数

由奇函数和偶函数的性质，可知奇函数中自变量带有负号可以向外提出，而偶函数自变量中的负号不能向外提出，即可内消．

因此，可以归纳出判断复合函数奇偶性的方法

.

首先，判断定义域是否关于原点对称；其次，不论是几层复合函数，一旦有一层为偶函数，则复合函数为偶函数，否则为奇函数．

例7

判断下列函数的奇偶性．(1)

f

(

x

)=sin(

x

-

x

)；(2)

g

(

x

)=cos(

x

+

x

)；(3)

h

(

x

)=|tan

x

|．

解：

(1)

f

(

x

)为

R

上的奇函数；(2)

g

(

x

)为

R

上的偶函数；(3)

h

(

x

)为上的偶函数．

这种方法方便学生在审题时确定函数的奇偶性，但在处理具体问题时，一定要确认其定义域关于原点的对称性．

四、 函数的局部奇偶性

对于奇(偶)函数平移后得到的新函数，在此将其称为具有局部奇偶性函数，常用分离方法处理这类问题．

例8

设函数

f

(

x

)=

a

sin

x

-

bx

+1，且

f

(3)=5，求

f

(-3)的值．

分析：

对于函数

f

(

x

)=

a

sin

x

-

bx

+1，其中

a

sin

x

-

bx

为奇函数，

y

=

f

(

x

)的图像可由

g

(

x

)=

a

sin

x

-

bx

的图像向上平移1个单位得到．要求

f

(-3)，关键要求出

g

(-3)的值，而

g

(-3)=-

g

(3)．显然，

g

(3)=

f

(3)-1．

解：

设

g

(

x

)=

a

sin

x

-

bx

，则

f

(

x

)=

g

(

x

)+1，所以

f

(3)=

g

(3)+1=5．从而，

g

(3)=4，

g

(-3)=-

g

(3)=-4，则

f

(-3)=

g

(-3)+1=-3．

综上可知，要熟练掌握函数的奇偶性，不但要深刻理解奇偶性的定义，而且要能领会奇偶函数的本质特征．