定义在R的奇函数可以任性使用f（0）=0

孟维帅

利用f（0）=0求解奇函数中的待定系数已不是新鲜问题，众所周知的是，如果函数在x=0处无定义，是不能用f（0）=0来求参的，如题目：函数f（x）+a为奇函数，求实数a的值.

就上述问题，不由让笔者引起思考，倘若函数在x=0处有定义，一般的来说，定义在R上的奇函数难道就可以任性地使用

f（0）=0来求参吗？笔者认为，结合具体实例来研究这个问题不失为一个好办法.

例1 已知函数f（x）=a-为奇函数，求实数a的值.

解：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以有f（0）=0，即a=0，解得a=.

由此可知a=函数f（x）确实是奇函数.

通过例1，发现定义在R上的奇函数可以任性的使用f（0）=0来求出参数a，但是一个例子的佐证似乎显得有些苍白，因此笔者再选一例来讨论定义在R上的奇函数是否任性的使用f（0）=0来求参.

例2 已知函数y=为奇函数，求实数a的值.

解：显然函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以有f（0）=0，即=0，解得a=±1.

当a=1时，函数f（x）=ex-e-x.

此时f（-x）=e-x-ex，显然f（x）+f（-x）=0.

当a=-1时，函数f（x）=e-x-ex，

此时f（-x）=ex-e-x，显然f（x）+f（-x）=0.

综上，a=±1都会使得函数f（x）为奇函数.

例2似乎进一步巩固了例1的说法，即定义在R的奇函数可利用f（0）=0来求解析式中的参数，讨论也仿佛到了尾声，结论好像已如磐石那般坚定，然而笔者却始终心存疑虑，并开始寻找定义域为R的反例，最终寻得一例，并予以说明：

例3 已知函数f（x）=ax2+（a-1）x+a2-a（a∈R）为奇函数，求实数a的值.

解法一：不难看出，函数f（x）是定义域为R的奇函数，利用

f（0）=0可得a2-a=0，解得a=0或a=1.

当a=0时，f（x）=-x，此时f（-x）=x，于是f（x）+f（-x）=0，

由奇函数的定义可知，函数f（x）为奇函数.

当a=1时，f（x）=x2，此时f（-x）=f（x），函数f（x）为偶函数，而并非奇函数.

此例是以简单的多项式函数来构造成功反例，推翻了定义在R的奇函数可任性使用f（0）=0来求解析式中的参数，例子虽然简单但是足以说明问题，即使是定义在R上的奇函数，也不可以任性地使用f（0）=0来求参数.

通过对三道例题的分析，例1和例2说明f（0）=0确实是为求定义域为R上的奇函数中的参数问题提供了便利，但同时例3警示此类做法的风险，同时也指出此类方法检验的必要性.

例3的风險说明奇函数求参的保险手段便是奇函数的定义，即f（x）+f（-x）=0.在具体问题中可利用赋值简化，如例3函数在x=1处有定义，令x=1，即f（1）+f（-1）=0可得a=0，避免了风险，而且此法还可利用到x=0处无定义的函数中，如文章开头的例子就可以用此法求出a=.

编辑 鲁翠红