如何求抽象函数的定义域

叶建勇

求抽象函数的定义域问题经常出现各类函数试題中.此类问题较为抽象，题目中通常不会给出具体的函数解析式，要求根据已知条件或函数的值域求其定义域.常见的题型有三种：（1）已知 f x的定义域，求fgx的定义域;（2）已知fgx的定义域，求 f x的定义域;（3）已知fgx的定义域，求fhx的定义域.下面结合实例，重点探讨一下这三类抽象函数定义域问题的解法.

例1.已知函数 f x的定义域为4， 9，求 fx2的定义域.

解：令 u = x2，则 fx2是由 u = x2与 y =f u构成的复合函数，

因为函数 f x的定义域为4， 9，

所以 u = x2∈4， 9，

解得-3≤ x ≤-2或 2≤ x ≤3，

即函数 fx2的定义域为[-3，-2]⋃[2，3].

对于已知函数 f x的定义域，求fgx的定义域问题，需先根据 f x的定义域a， b确定函数gx的值域，即gx∈a， b，通过解不等式 a ≤ g（x）≤ b，得到fgx的定义域.对于本题，我们需由 f x的定义域，确定 u = x2∈4， 9，建立关于 x 的不等式，即可求得 x 的取值范围.

例2.已知函数 fx2- 2x +2的定义域为0， 3，求函数 f x的定义域.

解：令 t = x2- 2x +2，所以 fx2- 2x +2=f t，

因为 fx2- 2x +2的定义域为0， 3，

则 x ∈0， 3，

所以，当 x ∈0， 3时，x2- 2x +2∈1， 5，

因此 f x的定义域为1， 5.

若已知fgx的定义域为a， b，求函数 f x的定义域，需根据fgx的定义域a， b，得到gx的值域，所得的gx的值域即为函数 f x的定义域.

例3.已知函数 y=f（x2-1）的定义域为[-  ， ]，则函数 y=f（x）的定义域为_____.

解：∵y=f（x2-1）的定义域为[-  ， ]，

∴ x ∈[-  ， ]，x2-1∈[-1，2]，

∴y=f（x）的定义域为[-1，2].

我们只需根据题意求得 x2-1的取值范围，即可建立关于 x 的不等式，求得函数 y=f（x）的定义域.在解题时，需注意两点：（1）明晰fgx的定义域与 f x的定义域之间的区别;（2）明确fgx中的gx与f x中 x 之间的等价关系.

例4.已知函数 f x +2的定义域是-1， 2，求函数 fx2的定义域.

解：因为 f x +2的定义域是-1， 2，

则-1≤ x ≤2，

因此1≤ x +2≤4，

即函数 f x的定义域为1，4，

令1≤ x2≤4，

解得-2≤ x ≤- 1或1≤ x ≤2，

因此，函数 fx2的定义域为{x|- 2≤ x ≤-1或1≤x ≤2}.

在解答本题时，需明确函数 f x的 x 与函数fx2中 x2的值域之间的等价关系，由此建立关系式，即可解题.若已知fgx的定义域为a， b，求函数fhx的定义域，要根据fgx的定义域得到gx的值域，再根据gx的值域等价于hx的值域来建立不等式，解不等式即可求得fhx的定义域.

虽然函数 y =fgx、y =fhx、y =f x的解析式不相同，但是其对应的法则相同，因此求抽象函数的定义域，关键在于明确 y =fgx、y =fhx、 y =f x中 x、gx、hx的意义及其等价关系，建立相应的关系式，即可求得对应函数的定义域.

（作者单位：湖北省安陆市第二高级中学）