几个存在反例的数学猜想

李小萍

在大多数时候，我们是通过寻找规律得出数学猜想.但是这种做法并不严谨.在数学研究中，错误的数学猜想不占少数.关键在于，有时反例中涉及的数据太大、太多，找出全部的反例实在是太困难了.下面我们来看看存在反例的几个猜想.

中间出现了两个-2.这是一个反例，说明该结论不成立.为什么会出现n=105的反例呢？

2.Polya猜想

对自然数列的质因数分解.2=2;3=3;4=2x2;5=5;6=2x3; 7=7; 8=2x2x2; 9=3x3; 10=2x5; 11=11; 12=2x2x3; 13=13; 14=2x7; 15=3x5; 16=2x2x2x2; 17=17;……

可以看到，4、6、9、10、14、16这6个数包含偶数个质因子，其余11个数都含奇数个质因子.

这个猜想对1亿以内的数都成立！

Polya猜想看上去非常合理.但在1958年，英国数学家C.B.Haselgrove发现，Polya猜想竟然是错误的.他证明了Polya猜想存在反例，从而推翻了这个猜想.不过，Haselgrove仅仅是证明了反例的存在性，并没有算出这个反例的具体值.Haselgrove估计，这个反例至少也是一个361位数（ 1.845x10361）.1960年，美国数学家R.ShermanLehman给出了一个确凿的反例：n=906180359.而Polya猜想的最小反例n=906150257，则是到了1980年才被发现.

4.Perrin素数

尝试寻找到一个简单而高效的素数生成公式一直是数学学者们的理想之一.法国著名数学家家、诺贝尔奖获得者Perrin发现的一个数列：

1899年Perrin本人曾经做过试验，随后很多人也都做过搜索，均未发现任何反例.

直到1982年，英国数学家Adams和Shanks才发现第一个反例n=271441，它等于52lx521，却也能整除f（271441）.

事实上，有很多不是素数的n，使得an是n的倍数，如271441、904631、16532714、24658561、27422714、27664033、46672291、102690901、130944133 -

似乎有这样的规律：n能整除2n一2，当且仅当n是一个素数.

第一个反例是n=341，此时341能够整除2 341—2，但34l=llx31.

根據Fermat小定理，如果p是素数，那么p-定能整除2—2.不过，它的逆定理却是不成立的，上面提到的341便是一例.我们把这种数叫做以2为底的伪素数.由于这种素数判定法的反例出人意料的少，我们完全可以用它来做一个概率型的素数判定算法.著名的Miller-Rabin素性测试算法就是用的这个原理.

6.Euler猜想

NoamElkies是用代数曲线上的有理点、模函数等知识，做了一些分类讨论，将猜想化归成了一些简单的情况，从而找到反例.

还有一些类似的恒等式可以用来给出某些类似的方程的解，如：

寻找反例并不是仅仅靠运气，很多时候需要结合很多技巧.要考虑如果反例出现，需要满足的必要条件，再去检验反例是否成立.所以说寻找反例也要根据数学知识来分析，而不是瞎猜一通，