单调奇函数的一个性质及其应用

高群安 胡少龙

(湖北省襄州一中 441104)

单调奇函数有下列性质：

若f(x)是定义在R上的单调递增的奇函数，则(1)f(a)+f(b)=0⟺a+b=0；

(2)f(a)+f(b)>0⟺a+b>0；

(3)f(a)+f(b)<0⟺a+b<0.

若f(x)是定义在R上的单调递减的奇函数，则

(1)f(a)+f(b)=0⟺a+b=0；

(2)f(a)+f(b)>0⟺a+b<0；

(3)f(a)+f(b)<0⟺a+b>0.

上述性质简言之：增同减反.证明简单，这里从略.

这是单调奇函数的一个较为重要而且非常有用的性质，利用这个结论解决有关问题，可缩短思维过程，精简解题程序，提高解题效率.

一、证明命题

二、求值

例2 已知x,y∈R,x3-3x2+5x=1,y3-3y2+5y=5,求x+y之值.

解题设条件可化为：(x-1)3+2(x-1)=-2,(y-1)3+2(y-1)=2.设f(x)=x3+2x，则f(x)是R上单调递增的奇函数.

由f(x-1)=-2,f(y-1)=2⟹f(x-1)+f(y-1)=0，所以x-1+y-1=0⟹x+y=2.

评注本题通过构造函数，把条件转化为f(x-1)+f(y-1)=0，利用单调奇函数的性质使问题巧妙解决.

三、解方程

例4 解方程：(x+2018)2017+x2017+2x+2018=0.

解原方程可化为：[(x+2018)2017+(x+2018)]+(x2017+x)=0.设f(x)=x2017+x则f(x)为R上单调递增的奇函数，由f(x+2018)+f(x)=0得 (x+2018)+x=0⟹x=-1009.

评注例4、例5解答的关键是根据方程结构特点，构造奇函数，利用单调奇函数的性质使问题得以解决.

四、求参数范围

(1)判断并证明f(x)的奇偶性与单调性；

(2)若f(-2x2+3x)+f(m-x-x2)>0对任意的x∈[0,1]均成立，求实数m的取值范围.

(2)由(1)知f(x)是R上单调递增的奇函数，所以f(-2x2+3x)+f(m-x-x2)>0对任意的x∈[0,1]均成立⟺-2x2+3x+m-x-x2>0即m>3x2-2x对任意的x∈[0,1]均成立.因为x∈[0,1]时，3x2-2x的最大值为1，所以m>1. 即所求实数m的取值范围为(1,+).

(1)求a,b的值；

(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立，求k的取值范围.

可见利用单调奇函数上述“增同减反”的性质，解决有关问题能够化复杂为简单，化抽象为具体，化隐含为显然，化生疏为熟悉，精简解题程序，提高解题效率.