求解抽象函数解析式六法

郑玉琳

一、换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出f（x）

四、利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式

【例6】 已知y=f（x）为奇函数，当x>0时，f（x）=lg（x+1），求f（x）.

解：∵f（x）为奇函数，∴f（x）的定义域关于原点对称，故先求x<0时的表达式.

∵-x>0，∴f（-x）=lg（-x+1）=lg（1-x）.

∵f（x）为奇函数，∴lg（1-x）=f（-x）=-f（x），

∴当x<0时，f（x）=-lg（1-x）.

五、赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f（x）的表达式

【例8】 已知f（0）=1，对于任意实数x、y，等式f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）恒成立，求f（x）.

解：对于任意实数x、y，等式f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）恒成立，

不妨令x=0，则有f（-y）=f（0）-y（-y+1）=y2-y+1，

再令-y=x得函数解析式f（x）=x2+x+1.

【例9】 函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0.求f（x）的解析式.

解：令x=1，y=0，代入得f（1+0）-f（0）=（1+2×0+1）×1，整理得f（0）=2.

令y=0，得f（x+0）-f（0）=（x+0+1）x，

所以f（x）=x2+x+2.

六、方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式endprint

一、换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出f（x）

四、利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式

【例6】 已知y=f（x）为奇函数，当x>0时，f（x）=lg（x+1），求f（x）.

解：∵f（x）为奇函数，∴f（x）的定义域关于原点对称，故先求x<0时的表达式.

∵-x>0，∴f（-x）=lg（-x+1）=lg（1-x）.

∵f（x）为奇函数，∴lg（1-x）=f（-x）=-f（x），

∴当x<0时，f（x）=-lg（1-x）.

五、赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f（x）的表达式

【例8】 已知f（0）=1，对于任意实数x、y，等式f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）恒成立，求f（x）.

解：对于任意实数x、y，等式f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）恒成立，

不妨令x=0，则有f（-y）=f（0）-y（-y+1）=y2-y+1，

再令-y=x得函数解析式f（x）=x2+x+1.

【例9】 函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0.求f（x）的解析式.

解：令x=1，y=0，代入得f（1+0）-f（0）=（1+2×0+1）×1，整理得f（0）=2.

令y=0，得f（x+0）-f（0）=（x+0+1）x，

所以f（x）=x2+x+2.

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一、换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出f（x）

四、利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式

【例6】 已知y=f（x）为奇函数，当x>0时，f（x）=lg（x+1），求f（x）.

解：∵f（x）为奇函数，∴f（x）的定义域关于原点对称，故先求x<0时的表达式.

∵-x>0，∴f（-x）=lg（-x+1）=lg（1-x）.

∵f（x）为奇函数，∴lg（1-x）=f（-x）=-f（x），

∴当x<0时，f（x）=-lg（1-x）.

五、赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f（x）的表达式

【例8】 已知f（0）=1，对于任意实数x、y，等式f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）恒成立，求f（x）.

解：对于任意实数x、y，等式f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）恒成立，

不妨令x=0，则有f（-y）=f（0）-y（-y+1）=y2-y+1，

再令-y=x得函数解析式f（x）=x2+x+1.

【例9】 函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0.求f（x）的解析式.

解：令x=1，y=0，代入得f（1+0）-f（0）=（1+2×0+1）×1，整理得f（0）=2.

令y=0，得f（x+0）-f（0）=（x+0+1）x，

所以f（x）=x2+x+2.

六、方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式endprint