由“阿波罗尼斯圆的认识”的教学设计谈起

乔健

由最近发展区理论，例题设计要贯彻循序渐进的教学原则，从易到难、由浅入深设计阶梯，符合学生步子的大小.也就是说，要根据高中生相关阶段的年龄特征、知识水平把握例题的坡度，必要时还应该设置环形阶梯，螺旋上升，反复巩固.

例题设计成功的显性特征就是能激发学生研究例题的兴趣，学生在行动上能积极地参与.因此设计的例题要能激发学生的思维，难度太低或太高均不符合要求.例题都需要考虑学生相应的基础知识，并预留给学生思考的空间，为学生的思维保留余地.对于一些需要逐步思考解决的问题，可以设计相应的子问题，层层递进地帮助学生实现预设的最终目标.

例题设计的系统性包括两个方面：第一，在同一节课上，体现知识的系统性和思维的系统性.在设计例题时应把学生已有的或将有的知识点加以概括，并巧妙合理地串在一起，使学生通过本节课获得相关方面的系统知识；明确思维的起点和方向，理清思维的顺序，目的在于为学生指明探究新知识的思考方向，减缓思维坡度.第二，各阶段或各节课之间的例题设计的系统性.在知识网络上，找准新知识的支撑点，分析新旧知识的衔接区，复习与新知识有直接关系的旧知识，使知识结构向智能结构转化.

通过对例题蕴含的知识进行纵向深入地探究，加强知识的横向联系，把例题所蕴含的孤立的知识“点”扩展到系统的知识“面”.通过不断地拓展、联系，加强对知识结构的理解，进而形成认知结构中知识的系统性.例如，笔者在高三进行“阿波罗尼斯圆的认识”这一专题的例题设计时，为了体现从个体到整体，系统地展示知识生成的过程，提高学生研究例题的热情，对例题题组做了如下设计.

【例1】 已知平面上动点M分别到点O（0，0），A（3，0）的距离的比值等于，请探求动点M的轨迹图形.

通过设点、构建等式方程、化简等步骤后，最终得到动点M的轨迹方程，并得出对应的轨迹图形是圆.联系圆的原始定义“到定点的距离等于定长的动点轨迹是圆”辨析对比后提出：此处的结论是偶然还是必然？这是否是圆的又一种定义？在学生进入思考状态时，进一步提示：不妨在此题的模式下，变动相应的某些元素（改变点或比值），其结果如何？学生惊奇地发现，动点M的轨迹仍是圆！这时，进一步引出更一般的问题：

上述一组例题的教学中，既渗透了数学文明史教育，培养了学生探索未知，追求尽善尽美的科学精神，也再现了科学探索的流程.

下面给出阿波罗尼斯圆的应用.

充分利用例题，营造探究背景，能激发学生的学习兴趣.为进一步培养学生的实际应用能力，又选配了相关的应用题：

【例4】 2009年汶川“5·12”地震后，“一方有难，八方支援”.灾区汶川记为点C，全国支援救灾物资持续抵达中转站B点（如图1），线段AB=100km位于火车运输线上，已知灾区C距离铁路CA=20km，指挥部拟在线段AB上某点D处打通一条笔直公路通往C处.已endprint

由最近发展区理论，例题设计要贯彻循序渐进的教学原则，从易到难、由浅入深设计阶梯，符合学生步子的大小.也就是说，要根据高中生相关阶段的年龄特征、知识水平把握例题的坡度，必要时还应该设置环形阶梯，螺旋上升，反复巩固.

例题设计成功的显性特征就是能激发学生研究例题的兴趣，学生在行动上能积极地参与.因此设计的例题要能激发学生的思维，难度太低或太高均不符合要求.例题都需要考虑学生相应的基础知识，并预留给学生思考的空间，为学生的思维保留余地.对于一些需要逐步思考解决的问题，可以设计相应的子问题，层层递进地帮助学生实现预设的最终目标.

例题设计的系统性包括两个方面：第一，在同一节课上，体现知识的系统性和思维的系统性.在设计例题时应把学生已有的或将有的知识点加以概括，并巧妙合理地串在一起，使学生通过本节课获得相关方面的系统知识；明确思维的起点和方向，理清思维的顺序，目的在于为学生指明探究新知识的思考方向，减缓思维坡度.第二，各阶段或各节课之间的例题设计的系统性.在知识网络上，找准新知识的支撑点，分析新旧知识的衔接区，复习与新知识有直接关系的旧知识，使知识结构向智能结构转化.

通过对例题蕴含的知识进行纵向深入地探究，加强知识的横向联系，把例题所蕴含的孤立的知识“点”扩展到系统的知识“面”.通过不断地拓展、联系，加强对知识结构的理解，进而形成认知结构中知识的系统性.例如，笔者在高三进行“阿波罗尼斯圆的认识”这一专题的例题设计时，为了体现从个体到整体，系统地展示知识生成的过程，提高学生研究例题的热情，对例题题组做了如下设计.

【例1】 已知平面上动点M分别到点O（0，0），A（3，0）的距离的比值等于，请探求动点M的轨迹图形.

通过设点、构建等式方程、化简等步骤后，最终得到动点M的轨迹方程，并得出对应的轨迹图形是圆.联系圆的原始定义“到定点的距离等于定长的动点轨迹是圆”辨析对比后提出：此处的结论是偶然还是必然？这是否是圆的又一种定义？在学生进入思考状态时，进一步提示：不妨在此题的模式下，变动相应的某些元素（改变点或比值），其结果如何？学生惊奇地发现，动点M的轨迹仍是圆！这时，进一步引出更一般的问题：

上述一组例题的教学中，既渗透了数学文明史教育，培养了学生探索未知，追求尽善尽美的科学精神，也再现了科学探索的流程.

下面给出阿波罗尼斯圆的应用.

充分利用例题，营造探究背景，能激发学生的学习兴趣.为进一步培养学生的实际应用能力，又选配了相关的应用题：

【例4】 2009年汶川“5·12”地震后，“一方有难，八方支援”.灾区汶川记为点C，全国支援救灾物资持续抵达中转站B点（如图1），线段AB=100km位于火车运输线上，已知灾区C距离铁路CA=20km，指挥部拟在线段AB上某点D处打通一条笔直公路通往C处.已endprint

由最近发展区理论，例题设计要贯彻循序渐进的教学原则，从易到难、由浅入深设计阶梯，符合学生步子的大小.也就是说，要根据高中生相关阶段的年龄特征、知识水平把握例题的坡度，必要时还应该设置环形阶梯，螺旋上升，反复巩固.

例题设计成功的显性特征就是能激发学生研究例题的兴趣，学生在行动上能积极地参与.因此设计的例题要能激发学生的思维，难度太低或太高均不符合要求.例题都需要考虑学生相应的基础知识，并预留给学生思考的空间，为学生的思维保留余地.对于一些需要逐步思考解决的问题，可以设计相应的子问题，层层递进地帮助学生实现预设的最终目标.

例题设计的系统性包括两个方面：第一，在同一节课上，体现知识的系统性和思维的系统性.在设计例题时应把学生已有的或将有的知识点加以概括，并巧妙合理地串在一起，使学生通过本节课获得相关方面的系统知识；明确思维的起点和方向，理清思维的顺序，目的在于为学生指明探究新知识的思考方向，减缓思维坡度.第二，各阶段或各节课之间的例题设计的系统性.在知识网络上，找准新知识的支撑点，分析新旧知识的衔接区，复习与新知识有直接关系的旧知识，使知识结构向智能结构转化.

通过对例题蕴含的知识进行纵向深入地探究，加强知识的横向联系，把例题所蕴含的孤立的知识“点”扩展到系统的知识“面”.通过不断地拓展、联系，加强对知识结构的理解，进而形成认知结构中知识的系统性.例如，笔者在高三进行“阿波罗尼斯圆的认识”这一专题的例题设计时，为了体现从个体到整体，系统地展示知识生成的过程，提高学生研究例题的热情，对例题题组做了如下设计.

【例1】 已知平面上动点M分别到点O（0，0），A（3，0）的距离的比值等于，请探求动点M的轨迹图形.

通过设点、构建等式方程、化简等步骤后，最终得到动点M的轨迹方程，并得出对应的轨迹图形是圆.联系圆的原始定义“到定点的距离等于定长的动点轨迹是圆”辨析对比后提出：此处的结论是偶然还是必然？这是否是圆的又一种定义？在学生进入思考状态时，进一步提示：不妨在此题的模式下，变动相应的某些元素（改变点或比值），其结果如何？学生惊奇地发现，动点M的轨迹仍是圆！这时，进一步引出更一般的问题：

上述一组例题的教学中，既渗透了数学文明史教育，培养了学生探索未知，追求尽善尽美的科学精神，也再现了科学探索的流程.

下面给出阿波罗尼斯圆的应用.

充分利用例题，营造探究背景，能激发学生的学习兴趣.为进一步培养学生的实际应用能力，又选配了相关的应用题：

【例4】 2009年汶川“5·12”地震后，“一方有难，八方支援”.灾区汶川记为点C，全国支援救灾物资持续抵达中转站B点（如图1），线段AB=100km位于火车运输线上，已知灾区C距离铁路CA=20km，指挥部拟在线段AB上某点D处打通一条笔直公路通往C处.已endprint