利用奇函数的一个性质巧解一类二元求值问题

林国红

(广东省佛山市乐从中学)

函数的奇偶性是函数的重要性质,是解决一些函数问题的有力工具.有些问题从表面上看似乎与函数无关,但如果我们从题设所给出的式子的结构特征入手,站在函数的角度审视问题并抓住问题的本质构造函数,运用函数的性质(单调性、奇偶性等)来处理,有时会起到“柳暗花明又一村”的解题效果.本文着重介绍单调奇函数的一个重要性质及其在解题中的妙用,供读者参考.

1 两个引例

引例1(2023年全国高中数学联赛内蒙古预赛第2题)已知x,y∈R,且满足

引例2(2023年全国高中数学联赛北京预赛第6题)已知x,y∈R,且满足

两个引例的条件都是方程形式,引例1是无理方程,引例2是三次方程,通过解方程的方法直接求解相应的x,y较为困难.

两个方程等号的左边可以记为t3＋2023t的形式,等号的右边是互为相反数的两个数.

可见两个引例的已知条件、所求结果的形式相似,猜想这两个引例应该有相似(或统一)的解法.

2 奇函数的一个性质

事实上,单调的奇函数有一个简单且重要的性质.

性质已知函数f(x)是区间D上的单调奇函数,m,n∈D,若f(m)＋f(n)＝0,则m＋n＝0.

简证因为函数f(x)是区间D上的单调奇函数,所以f(x)不恒等于0.

由f(m)＋f(n)＝0,得f(m)＝－f(n)＝f(－n),故m＝－n,所以m＋n＝0.

3 引例的解析

下面我们应用单调奇函数的性质解答引例.

根据题意,有

所以由性质可得x＋1＋y＋1＝0,即x＋y＝－2.

引例2的解析由

所以f(t)是奇函数.因为f′(t)＝3t2＋2023＞0,所以f(t)在R上单调递增.

根据题意,有f(x－1)＋f(y＋2)＝－1＋1＝0,所以由性质可得x－1＋y＋2＝0,即x＋y＝－1.

4 性质的应用举例

以上述单调奇函数的性质为背景的试题在各类考试中多次出现,特别是在竞赛中尤为常见,下面分类展示该性质的运用.

4.1 直接应用型

例1(2003年全国高中数学联赛湖南预赛第7题)已知x,y∈R,且满足

解析

设f(t)＝t2003＋2002t(t∈R),则

所以f(t)是奇函数.因为f′(t)＝2003t2002＋2002＞0,所以f(t)在R上单调递增.

根据题意,有f(x－1)＋f(y－2)＝0,所以由性质可得x－1＋y－2＝0,即x＋y＝3.

例2(2015年全国高中数学联赛新疆预赛第4题)已知x,y∈R,且满足

解析

设f(t)＝t3＋2015t(t∈R),则

所以f(t)是奇函数.因为f′(t)＝3t2＋2015＞0,所以f(t)在R上单调递增.

根据题意,有f(x－1)＋f(y－1)＝0,所以由性质可得x－1＋y－1＝0,即x＋y＝2.

点评

本类问题中的两个已知等式在结构上相似,运用整体思想,直接构造相应的奇函数,并应用奇函数的性质进行解答.

4.2 变形应用型

例3(2008 年全国高中数学联赛湖南预赛A卷第8 题)设函数f(x)＝x3＋3x2＋6x＋14,且f(a)＝1,f(b)＝19,则a＋b＝__________.

解析

由

则

所以g(t)是奇函数.因为g′(t)＝3t2＋3＞0,所以g(t)在R上单调递增.

根据题意,有g(a＋1)＋g(b＋1)＝0,所以由性质可得a＋1＋b＋1＝0,即a＋b＝－2.

例4(2016年全国高中数学联赛山东预赛第9题)已知α,β满足

所以f(t)是奇函数.因为f′(t)＝3t2＋2＞0,所以f(t)在R上单调递增.

根据题意,有f(α－1)＋f(β－1)＝0,所以由性质可得α－1＋β－1＝0,即α＋β＝2.

点评

本类问题不能直接运用奇函数的性质解答,需要根据题目的条件作适当变形,将两个等式变为相似结构,再构造相应的奇函数进行解答.例6只有一个等式,与其他例子的已知条件不同,但根据已知等式的结构特点,巧妙构造单调奇函数,再利用性质求得结果,思路新颖,过程简洁.

4.3 换元应用型

点评

本类问题的两个等式只是部分相似(一般是等号的其中一边相似),一般的变形并不能将两个等式变为相似结构,需要有换元意识,恰当地换元能将两个等式变为相似结构,然后构造相应的奇函数进行解答即可.

5 小结

奇函数有很多简洁、优美的性质,且这些性质有着广泛的应用.在解题中,有时遇到的问题并不是奇函数问题,但若仔细观察式子的结构特征,可能会发现其与奇函数有着密切的联系,因而把表面上看似与函数无关的问题通过变形转化为函数问题,然后利用奇函数的性质解答,这样可以优化解题过程.另外,运用函数的观点来求解问题,有利于培养学生用动态发展的观点来分析问题,抓住问题的本质,并提高解决问题的能力.

(完)