以“极值点偏移”为命题背景的导数综合题的解题策略

李 波

(四川省南充高级中学)

极值点偏移是指在函数极值点的左右两侧,由于函数值的增减速度不同,导致函数图像不对称,该类问题成为近几年高考中的热点问题.经过一轮复习以后,学生能够处理简单的对称问题,如证明x1＋x2＞a,x1x2＞a(a为常数)等,但针对非对称结构、复杂结构、含参不等式证明等问题时,却无从下手.为此,笔者将该类问题进行归纳总结,与大家一起分享.

1 利用函数单调性的定义，构造对称函数

例1已知函数f(x)＝x－lnx－a有两个不同的零点x1,x2.

(1)求实数a的取值范围;

(2)求证:x1＋x2＞a＋1.

解析

(1)a∈(1,＋∞)(求解过程略).(2)不妨设x1＜x2,由(1)知,x1∈(0,1),x2∈(1,＋∞),由x1－lnx1－a＝0,得a＝x1－lnx1.

要证x1＋x2＞a＋1,则证x1＋x2＞x1－lnx1＋1,即证x2＞1－lnx1.由x1∈(0,1),知1－lnx1∈(1,＋∞),又f(x)在(1,＋∞)上单调递增,所以要证f(x2)＝f(x1)＞f(1－lnx1).

点评

证明不等式x1＋x2＞a＋1的难点主要有以下两点:1)不等式中含有参数a,不易想到消参;2)证明x2＋lnx1＞1,不易想到构造函数F(x)＝f(x)－f(1－lnx)(x∈(0,1))证明x2＞1－lnx1.本题应打破以往证明x1＋x2＞λ(λ为常数)的基本套路,这要求学生既要有扎实的基本功、灵活的应变能力,又要在通性通法的基础上适当创新.

2 利用同构思想化简，构造复合函数

3 利用函数的性质与图像，快速解答客观题

点评

若客观题考查极值点偏移问题,可利用函数的性质与图像来快速求解.

4 利用对数均值不等式，巧证偏移问题

5 反面入手去推证，得出结论有矛盾

例5已知函数

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)设a,b是两个不相等的正数,且a＋lnb＝b＋lna,证明:a＋b＋ln(ab)＞2.

解析

(1)f(x)在(－∞,0),(0,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增(求解过程略).

点评

本题使用正难则反法,选择从反面入手,把假设当成已知条件去分析问题,得出新的结论,并从范围方面找到矛盾,即假设不成立.

6 变换目标成齐次结构，构造过渡函数

例6已知函数f(x)＝xlnx－a(x2－1)＋x.

(1)若f(x)单调递减,求a的取值范围;

例7已知函数f(x)＝aex－x2－2x(a∈R).

(1)若函数g(x)为函数f(x)的导函数,讨论函数g(x)的单调性;

(2)若函数f(x)的两个极值点分别为x1,x2,且x1＜x2,不等式x1＋λx2＞0恒成立,求实数λ的取值范围.

以极值点偏移为背景求参数(变量)的取值范围、不等式证明、比较大小等问题,考查函数的性质与图像、指数与对数的运算、函数的零点与极值、导数的四则运算等知识,考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想方法;考查运算求解、逻辑思维、推理论证、抽象概括等能力.试题情境简单大气,解答过程低进高出,解答方法灵活多变,能较好地培养学生创新意识与思辨能力.

(完)