单调
- 指数函数与对数函数和与差的单调性探究
——从2023 年高考全国乙卷理科第16 题谈起
在(0,+∞)上单调递增,则a的取值范围是____.试题精巧凝练,朴实干净,给人以清爽的感觉,体现了数学的简洁美,是一道不可多得的好题. 此题既可运用通性通法进行严谨的解答,体现扎实的“本手”;也可以借助导函数的单调性给出精简的解答,体现灵巧的“妙手”.解法1(本手) 对f(x) 求导得f′(x) =axlna+(1+a)xln(1+a),因此由f(x)在(0,+∞)上单调递增可知因即-lna≤ln(1+a),也即ln[a(1+a)] ≥ 0, 从而a(1
中学数学研究(广东) 2023年20期2023-11-28
- 指数函数与对数函数和与差的单调性探究
——从2023 年高考全国乙卷理科第16 题谈起
在(0,+∞)上单调递增,则a的取值范围是____.试题精巧凝练,朴实干净,给人以清爽的感觉,体现了数学的简洁美,是一道不可多得的好题.此题既可运用通性通法进行严谨的解答,体现扎实的“本手”;也可以借助导函数的单调性给出精简的解答,体现灵巧的“妙手”.解法1(本手) 对f(x) 求导得f′(x) =axlna+(1+a)xln(1+a),因此由f(x)在(0,+∞)上单调递增可知.因, 故, 即-lna≤ln(1+a),也即ln[a(1+a)] ≥ 0,
中学数学研究(广东) 2023年19期2023-11-23
- 妙探“双变量极值点偏移不等式证明”问题
导数,判断函数的单调性,从而求其最值;三是回归双参的不等式证明,把所求的最值应用到双参不等式,即可证得结果.1 真题重现学生解决这道真题主要有三种方法,展示如下:解法1 将blna-alnb=a-b变形为令f(x)=x(1-lnx),则f(m)=f(n),不妨设m2.要证m+n>2⟺n>2-m⟺f(n)令g(x)=f(x)-f(2-x),x∈(0,1),则g′(x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[x(2-x)]≥-ln1=0.所以g(x)在区间(0,1
数理化解题研究 2023年25期2023-10-11
- 函数与导数综合运用试题精选
论函数f(x)的单调性;(2)若∃x1∈(0,+∞),∃x2∈[-2,-1],使得2f(x1)≤f(x2),求实数a的取值范围。2.已知函数f(x)=ex-ksinx在区间内存在极值点α。(1)求实数k的取值范围;(2)求证:在区间(0,π)内存在唯一的β,使得f(β)=1,并比较β与 2α的大小。(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)设函数g(x)=(3-a)x-f(x)有两个极值点x1,x2(x15.已知函数(1)试判断函数f(x)的零点个数;6.设a
中学生数理化(高中版.高考数学) 2023年5期2023-09-15
- 逻辑推理素养指导下的解题活动
——发散思维，一题多解
)在(0,+∞)单调递增.g′(1)=2e-2>0，且当0当x>x0时，g′(x)>0，g(x)单调递增.故g(x)min=g(x0)=x0ex0-x0-lnx0-1.由g′(x0)=0,得即x0ex0=1，lnx0+x0=1.因此g(x)min=g(x0)=0.xex-3ax-lnx-1≥g(x)≥0，满足题意.xex-3ax-lnx-1又g(x0)=0，所以x0ex0-3ax0-lnx0-1不满足题意.分析2观察不等式的结构，从而产生联想，进行指对同构
数理化解题研究 2022年31期2022-12-10
- “咬文嚼字”学“单调”
■彭向阳函数的单调性是函数的一个重要性质,同学们初学函数的单调性,必须深刻理解定义,“咬文嚼字”进行对比学习。一、“函数没有单调性”和“函数不单调”例1讨论函数f(x)=kx+b的单调性。解析此函数的定义域为R,对于∀x1,x2∈R,且x1>x2,则f(x1)-f(x2)=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2)。因为x1>x2,所以x1-x2>0。当k>0 时,k(x1-x2)>0,可得f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),可知此函数
中学生数理化·高一版 2021年10期2021-12-03
- 函数的单调性复习指导
■胡 磊函数的单调性定义的等价形式:设任意x1,x2∈[a,b],x1≠x2,若(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或,则f(x)在区间[a,b]上是增函数;若(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]下面举例说明函数单调性的应用。例1若函数y=-|x-a|与y=在区间[1,2]上都是严格减函数,则实数a的取值范围为_____。解:y=-|x-a|的图像关于x=a对称,且在x=a的左侧单调递增,在x=a的右侧单调递减,要在区间[1,2]上单调递减,
中学生数理化·高一版 2021年10期2021-11-01
- 一道省质检试题的八种解法
x在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，所以f(x)min=f(1)=1，所以x-lnx≥1，因为exlnx+mx2+(1-ex)x+m≤0，所以ex(lnx-x)+mx2+x+m≤0，所以所以当00,当x>1时,g′(x)因此g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减， 所以g(x)max=g(1)≤0，所以正实数m的取值范围为所以当00，当x>1时，h′(x)所以H(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，所以由(1)
数理化解题研究 2021年4期2021-03-11
- 几道2020年导数试题的新解法
，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.解(1)f(x)在(-,0)上单调递减，在(0,+)上单调递增(过程从略).当x∈(-,-1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(-1,+)时，g(x)单调递减，于是gmax(x)=g(-1)=e.又从而f(x)有两个零点的充要条件为则的取值范围为).例2(2020年全国卷1理科21题)已知函数f(x)=ex+ax2-x.(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；解(1)f(x)在
数理化解题研究 2020年28期2020-10-19
- 全国名校高二数学选修2-2综合测试（A 卷）参考答案
x∈[1,m]上单调递增。故f(x)max=f(m)=lnm-am-b,f(x)min=f(1)=-a-b。因为存在x0∈[1,m]使得|f(x0)|≥1成立,所以存在x0∈[1,m]使得f(1)≤-1或f(m)≥1成立,即a+b≥1,或lnm-am-b≥1。若a+b＜1且lnm-am-b＜1,则不存在x0∈[1,m]使得|f(x0)|≥1成立。则lnm-a(m+1)＜2,即lnm＜a(m+1)+2。因为a＜0,所以lnm＜2,0＜m＜e2。故当存在x0∈
中学生数理化(高中版.高二数学) 2020年4期2020-04-28
- 全国名校导数测试卷（A卷）答案与提示
在(0,+∞)上单调递增。在(0,x0)上,f'(x)＜0,f(x)是减函数;在(x0,+∞)上,f'(x)＞0,f(x)是增函数。所以f(x)的最小值是f(x0),其中x0满足f'(x0)=0,即1+lnx0+2ax0-3a=0。因此,f(x0)=x0lnx0-ax0+1+a(x0-1)2=x0(3a-1-2ax0)-ax0+1+a(x0-1)2=(1-x0)(a+ax0+1)。①当x0=1,即a=1时,f(x)的最小值为0,此时f(x)有一个零点。由g
中学生数理化(高中版.高二数学) 2019年12期2020-01-01
- 全国名校函数与导数测试题(B卷)参考答案
)在[0，1]上单调递增；当x∈(1，2)时，φ "(x)＜0，于是φ(x)在[1，2]上单调递减。3 2.(1)当a=1时，y=f(x)=l n2x—2 l nx+1，令t=l nx∈[—1，2]，所以y=t2—2t+1=(t—1)2。当t=1时，取得最小值0；当t=—1时，取得最大值4。所以f(x)的值域为[0，4]。(2)因为f(x)≤—al nx+4，所以l n2x—al nx—2a—1≤0恒成立，令t=l nx∈[—1，2]，所以t2—a t—2
中学生数理化(高中版.高考数学) 2019年3期2019-11-27
- 导数测试题A 卷参考答案
0,函数f(x)单调递减;当x∈(-1,3)时,f'(x)＞0,函数f(x)单调递增;当x∈(3,+∞)时,f'(x)＜0,函数f(x)单调递减。已知函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为2 0,f(x)=-x3+a x2+b x+c=-x3+3x2+9x+c,f(-2)=2+c,f(2)=2 2+c,f(-1)=c-5为最小值。若f(-2)=2+c=2 0,即c=1 8时,则f(-1)=c-5=1 8-5=1 3为最小值;若f(2)=2 2+c=2
中学生数理化(高中版.高考数学) 2019年9期2019-11-27
- 赏析如出一辙的三道高考导数题
论函数f(x)的单调性；(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2)) 的直线的斜率为k.问：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.(1)讨论f(x)的单调性；时隔二年，试题2与试题1如出一辙；时隔九年，试题3与试题1又如出一辙.②若a-11，故10.故f(x)在(a-1，1)上单调递减，在(0，a-1)，(1，+∞)上单调递增.③若a-1>1，即a>
数理化解题研究 2019年19期2019-08-14
- 巧分类，突破含参单调性
重要的内容，函数单调性是进一步研究函数图象与性质的关键环节。以导数为载体的含参函数问题的图象和性质研究是高考考察的热点和难点。解决此类问题的常见方法是：求导后进行分类讨论，而如何进行分类讨论则是解题的难点，本文以近年高考试题和模拟题中含参数导数问题为例，从“有无、大小、内外”六字分类法揭开含参单调性讨论的神秘面纱。一、导数为零是否有解（有无，内外）例1.已知函数f（x）=Inx+a（1-x）讨论f（%）的单调性。解：f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x
文理导航·教育研究与实践 2019年2期2019-05-09
- 两参数Birnbaum-Saunders疲劳寿命分布图像特征的拓展分析
+∞)上“先严格单调上升后严格单调下降”，呈“倒浴盆”形；（2）f(t)在t∈(0,β)上“先严格单调上升后严格单调下降”，呈“倒浴盆”形，而在 t∈ [β,+∞ )上“严格单调下降”。证明由于β为刻度参数，不失一般性，设β=1，并记 ε(t)=-，则对t＞ 0，令函数对t＞ 0，令函数（ⅱ）类似于（ⅰ），对0＜ t＜ 1，令函数对0＜ t＜ 1，令函数2 BS（α，β）分布失效率函数的图像特征文献［14］主要利用了文献［30］的结论，证明失效率函数呈“倒
浙江大学学报（理学版） 2019年1期2019-02-27
- 精析三角函数单调性的应用
09)三角函数的单调性是三角函数的重要性质，在三角函数的各种问题中都能见到单调性的独特应用之处，特别是在比较大小、求三角函数的单调区间，解不等式等方面有着不可替代的作用.一、利用三角函数的单调性比较大小分析将各个值化为同名的三角函数,且角在同一单调区间内,再利用三角函数单调性求解.点评比较两个三角函数值的大小常常先将它们化为同名函数，然后将角化为在该函数的同一单调区间内的角．最后利用函数的单调性来比较函数值的大小．二、利用三角函数的单调性求单调区间三、利用
数理化解题研究 2019年4期2019-02-26
- 更换主元 巧解一道高考压轴题
)讨论f(x)的单调性；(3)设c>1，证明当x∈(0,1)时，1+(c-1)x>cx.当00，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)(2)由(1)知，f(x)在x=1处取得最大值，最大值为f(1)=0，所以当x≠1时，lnx(3)由题设c>1，设g(x)=1+(c-1)x-cx，则g′(x)=c-1-cxlnc．当x0，g(x)单调递增；当x>x0时，g′(x)所以当x∈(0,1)时，1+(c-1)x>cx.试题新解(1)(2)略.(3)由题设x∈(0
数理化解题研究 2019年4期2019-02-26
- 求单调有界数列极限的方法
学院 熊 灯一、单调有界数列的基本理论若数列的项满足不等式则称该数列为递增(递减)数列，递增数列和递减数列称为单调数列。对任意一数列如果存在某个实数A使得不等式恒成立，则称A为数列的一个上界，同样地，如果存在某个实数B，使得不等式恒成立，则称实数B是数列的一个下界，如果一个数列既有上界，又有下界，则称该数列有界，此时又存在一个正数M，使得单调有界定理∶在实数中，有界数列必有极限。二、求单调有界数列的方法数列在求极限时，我们事先并不知道数列的极限值，我们可以
数学大世界 2018年12期2018-11-30
- 由一道题的多种解法引出对一类题型的通法研究
x)在(0,3)单调递增，(3，+∞)单调递减.∴03.要证a+b>6只要证b>6-a>3,即证F(b)>F(6-a).∵F(a)=F(b)，即证F(a)令P(x)=F(x)-F(6-x),0即证3(t+1)lnt令p(t)=3(t+1)lnt-6(t-1),t∈(0,1),∴p′(t)在(0，1)单调递减，∴p′(t)∴p(t)在(0，1)单调递减，∴p(t)题后反思 上述方法中的前两种方法的本质实际上是一样的，都是把零点通过单调性偏移到极值的同一侧，便
数理化解题研究 2017年13期2017-06-05
- 导数在函数中的应用
用导数研究函数的单调性在某个区间[a，b]上，如果[fx>0]，那么函数[y=fx]在这个区间上单调递增；如果[fx<0]，那么函数[y=fx]在这个区间上单调递减.例1 已知[f（x）=ax-lnx+2x-1x2，a∈R].（1）讨论[f（x）]的单调性；（2）当[a=1]时，证明：[f（x）>fx+32]对任意的[x∈1，2]成立.解析 （1）先求[f（x）]的导函数，然后对[a]进行分类讨论，得到[f（x）]的单调区间.由题意得，[fx的定义域为0，
高中生学习·高二版 2017年4期2017-04-12
- 利用二元函数性质来刻画集值映射的单调性
来刻画集值映射的单调性龙天友,叶明露,李 军(西华师范大学 数学与信息学院,四川 南充 637009)首先回顾了集值映射和二元函数的几种单调性,包括单调、严格单调、强单调、伪单调、拟单调以及弱单调,并定义了二元集值函数的这几种单调性,同时举出大量例子说明这些单调性之间的关系。最后,利用二元实值函数和二元集值函数的六种单调性分别刻画了集值映射的六种单调性。集值映射;二元函数;单调性条件0 引 言许多数学模型,包括优化问题、多目标优化问题、变分不等式问题、不动
西华师范大学学报（自然科学版） 2016年3期2016-12-24
- 复合函数单调性的求解策略
学 岳峻复合函数单调性的求解策略安徽省太和中学岳峻我们知道，在复合函数y=f［g（x）］中，若内层函数u=g（x）在区间（a，b）上具有单调性，当x∈（a，b）时，u∈（m，n），且外层函数y=f（u）在区间（m，n）上也具有单调性，则复合函数y= f［g（x）］在区间（a，b）上一定是单调函数。单调性的判断规律可总结为：对于内层函数和外层函数，同增同减复合增，增减相异复合减，简而言之：同为增，异为减。函数的单调性是高考的重点和热点内容之一，其中复合函数的
青苹果 2016年17期2016-11-02
- 高中函数单调性的求解策略
宋志春函数的单调性是函数的一个非常重要的性质，在高考中经常会碰到有关函数单调性求解的问题，需要同学们重视.下面通过例子来说明此类问题的求解策略.一、掌握几种常见函数的单调性，求复合函数的单调区间复习过程中要熟练掌握几种常见函数（如一次函数、二次函数、反比例函数、指数对数函数及三角函数）的单调性，并能利用复合函数单调性的性质求解复合函数的单调性问题.
理科考试研究·高中 2016年5期2016-05-14
- 浅议单调有界函数的极限
10004）浅议单调有界函数的极限邓 敏（湖南交通职业技术学院 湖南长沙 410004）本文阐述、举例说明了由“单调有界数列必有极限”不能得到“单调有界函数必有极限”这一结论的理由，并进一步讨论了单调有界函数极限存在的条件。单调有界 数列 函数 极限 极限过程一、引言“单调有界数列必有极限”是微积分学的基本定理之一，是《高等数学》中证明第二个重要极限公式的一个重要预备定理，因为数列是一种特殊函数，所以很多学生就想当然的认为“单调有界函数必有极限”，甚至有些
新教育时代电子杂志(教师版) 2016年19期2016-03-02
- 对一道高考题解法的思考—从2014广东高考理科21题谈起
f(x)在D上的单调性；（3）若k＜-6，求D上满足条件f(x)＞f(1)的x的集合（用区间表示）。分析：（2）由（1）可知函数f(x)的定义域D为：在同一直角坐标系中画出g(x)与h(x)的图像，如下图所示：由上图可知在(-∞,x1)，g(x)＞0,h(x)＞0且g(x),h(x)都为减函数，∴g(x)·h(x)为减函数，从而f(x)为增函数；在(x3,-1)，g(x)＜0,f(x)＜0且g(x),h(x)都为减函数∴g(x)·h(x)为增函数，从而f(
卫星电视与宽带多媒体 2015年10期2015-07-16
- 一类单调数列极限的求法
限的计算方法中，单调有界原理是一种非常有效的方法.有些数列的极限，用其它方法不一定能求出极限值，用单调有界原理却能迎刃而解.应用单调有界原理求极限时，许多情况下，往往是证明数列单调增加有上界，或者单调减少有下界，由此确定数列有极限.定理 单调有界数列必有极限.这个定理就是单调有界原理（证明略）［1］50－55.还有一类数列，求它的极限要用到单调有界原理，却不清楚它是单调增加还是单调减少的.这类数列极限的求法，可以考虑一种新的思路，先证明它是单调的，不用知道
商丘职业技术学院学报 2013年5期2013-10-24