巧分类，突破含参单调性

毛小果

函数与导数是高中数学极为重要的内容，函数单调性是进一步研究函数图象与性质的关键环节。以导数为载体的含参函数问题的图象和性质研究是高考考察的热点和难点。解决此类问题的常见方法是：求导后进行分类讨论，而如何进行分类讨论则是解题的难点，本文以近年高考试题和模拟题中含参数导数问题为例，从“有无、大小、内外”六字分类法揭开含参单调性讨论的神秘面纱。

一、导数为零是否有解（有无，内外）

例1.已知函数f（x）=Inx+a（1-x）讨论f（%）的单调性。

解：f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）= 1/x-a若a≤0，则f'（x）f'（x）>0：当（1/a，+∞）时， f'（x）。所以f（X）在（0，1/a）上单调递增，在（吞，+二）上单调递减。

例2.已知函数f（x）=e^x（e^x-a）-a²x，讨论f（x）的单调性。

解：f'（x）=2（e^x）²-ae^x-a²=（2e^x+a）（e^x-a）.（1）当a=0时，f'（x）=2（e^x）²>0恒成立，所以f（x）在R上单调递增;（2）当a>0时，2e^x+a>0恒成立，令f'（x）>0，则e^x-a>0，

故x>Ina，所以f（x）在（Ina，+∞）上单调递增，在（-∞， Ina）上单调递减;（3）当a<0时，e^x-a>0恒成立，令f'（x）>0，则2e^x+a>0，即e^x>-a/2=e^In（-a/2），故x>In（-a/2），所以f（x）A（In（-a/2），+∞）上单调递增，在（-∞，In（-a/2）上单调递减。

二、导数为零的解有多个时（大小，内外）

例3.设函数f（x）=m（x-Inx）-1/x-Inx，m∈R.讨论函数f（x）的单调性。

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=（x-1）（mx-1）/x²，当m=0时，f'（x）=-x+1/x²，函数f（x）在区问（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减;当m<0时，1/m<0<1，函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减;当0

当m=1时，f'（x）=（x-1）²/x²≥1，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增;当m>1时，0<1/m<1，函数f（x）在区间（0，1/m）上单调递增，在区间（1/m，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增。

三、双变量含参单调性讨论

例4.已知函数f（x）=ax²+bx-Inx（a，b∈R），设a≥0，求f（x）的单调区间。

解：由f（x）=ax²+bx-Inx，x∈（0，+∞），得f'（x）=2ax²+bx-1/x。

（1）当a=0时，f'（x）=bx-1/x。若b≤0，当x>0时，f'（x）<0恒成立，所以函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞）.若b>0，当01/b时，f'（x）>0，函数f（x）单调递增。所以函数f（x）的单调递减区间是（0，1/b），单调递增区间是（1/b，+∞）。

（2）当a>0时，令f '（x）=0，得2ax²+bx-1=0。由△=b²x₂>0。当02