赏析如出一辙的三道高考导数题

武增明

(云南省玉溪第一中学 653100)

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2)) 的直线的斜率为k.问：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

(1)讨论f(x)的单调性；

时隔二年，试题2与试题1如出一辙；时隔九年，试题3与试题1又如出一辙.

②若a-1<1，而a>1，故10.故f(x)在(a-1，1)上单调递减，在(0，a-1)，(1，+∞)上单调递增.

③若a-1>1，即a>2，同理可得f(x)在(1，a-1)上单调递减，在(0，1)，(a-1，+∞)上单调递增.

令g(x)=x2-ax+1，其判别式Δ=a2-4.

①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0.

故f(x)在(0，+∞)上单调递增.

②当a<-2时，Δ>0，g(x)=0的两根都小于0.在(0，+∞)上，f′(x)>0.故f(x)在(0，+∞)上单调递增.

故不存在a，使得k=2-a.

①若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a=2，x=1时，f′(x)=0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递减.

(2)由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.

由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2-ax+1=0，所以x1x2=1，不妨设x11.

上述试题的第(1)问都是运用分类讨论的数学思想求解，第(2)问都是首先运用等价转化的数学思想探寻求解思路，然后运用构造函数的方法求解.