导数测试题A 卷参考答案

一、选择题

1.C 2.C 3.C 4.A 5.D 6.B

7.C 8.C 9.C 1 0.D 1 1.A 1 2.D

二、填空题

15.(2,+∞)

16.(-∞,-2)∪(2,+∞)

三、解答题

17.(1)当k=2时,f(x)=e2x(2-x)。

因为f'(x)=2 e2x(2-x)-e2x=e2x(3-2x),所以f'(1)=e2。

又因为f(1)=e2,所以所求的切线方程为y-e2=e2(x-1),即y=e2x。

设g(x)=e-k x+k x-k2,则g'(x)=-ke-k x+k=k(1-e-k x)。

当x＜0时,g'(x)＜0,当x＞0时,g'(x)＞0,所以g(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,所以g(x)min=g(0)=1-k2≥0,得-1≤k≤1。又k＞0,所以0＜k≤1。

综上可得,实数k的取值范围是(0,1]。

18.(1)因为函数f(x)=-x3+a x2+b x+c(a,b,c∈R),所以f'(x)=-3x2+2a x+b。

因为f'(-1)=f'(3)=0,所以f'(-1)=-3-2a+b=0,f'(3)=-2 7+6a+b=0,解得a=3,b=9。

(2)由(1)可知f'(x)=-3x2+6x+9。

当x∈(-∞,-1)时,f'(x)＜0,函数f(x)单调递减;

当x∈(-1,3)时,f'(x)＞0,函数f(x)单调递增;

当x∈(3,+∞)时,f'(x)＜0,函数f(x)单调递减。

已知函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为2 0,f(x)=-x3+a x2+b x+c=-x3+3x2+9x+c,f(-2)=2+c,f(2)=2 2+c,f(-1)=c-5为最小值。

若f(-2)=2+c=2 0,即c=1 8时,则f(-1)=c-5=1 8-5=1 3为最小值;

若f(2)=2 2+c=2 0,即c=-2时,则f(-1)=c-5=-2-5=-7为最小值。

19.(1)当a=1时,f(x)=ex-sinx+1,则f'(x)=ex-cosx≥0,且当x=0时,f'(x)=0,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(0)=2,所以对于任意x∈[0,+∞),有f(x)≥2恒成立。

(2)令f(x)=0,则,令g(x),函数f(x)在[0,π]上存在两个零点,即函数y=a与函数g(x)=在[0,π]上有两个不同的交点。

令g'(x)=0,则

因为x∈[0,π],所以或x=π。

所以g(x)在上单调递增,在上单调递减,所以

20.(1)函数f(x)=(1+a)x2-lnxa+1的定义域为(0,+∞),且f'(x)=

当a≤-1时,f'(x)＜0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;

当a＞-1时,令f'(x)=0,解得x=,此时f(x)在上单调递减,在上单调递增。

(2)若a＜1,则当x＞0,时,问题转化为不等式x f(x)＞lnx+(1+a)x3-x2在(0,+∞)上恒成立。

只需要证明x[(1+a)x-lnx-a+1]＞lnx+(1+a)x3-x2在(0,+∞)上恒成立,即证+1在(0,+∞)上恒成立。

因为a＜1时,即,所以-a+1在(0,+∞)上恒成立。

所以当x＞0时,函数y=x f(x)的图像恒在函数y=lnx+(1+a)x3-x2的图像上方。