“咬文嚼字”学“单调”

■彭向阳

函数的单调性是函数的一个重要性质,同学们初学函数的单调性,必须深刻理解定义,“咬文嚼字”进行对比学习。

一、“函数没有单调性”和“函数不单调”

例1讨论函数f(x)=kx+b的单调性。

解析

此函数的定义域为R,对于∀x1,x2∈R,且x1>x2,则f(x1)-f(x2)=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2)。因为x1>x2,所以x1-x2>0。

当k>0 时,k(x1-x2)>0,可得f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),可知此函数是增函数;当k=0 时,k(x1-x2)=0,可得f(x1)-f(x2)=0,即f(x1)=f(x2),可知函数f(x)=b是常数函数,没有单调性;当k<0 时,k(x1-x2)<0,可得f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

综上可得,当k>0时,此函数在R 上单调递增;当k=0时,此函数在R 上不具有单调性;当k<0时,此函数在R 上单调递减。

点评

函数具有单调性,即要么单调递增,要么单调递减。常数函数没有单调性,即常数函数不具有单调性。二次函数f(x)=x2+1,不能说在定义域R 上单调,只能说在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增。反比例函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),不能说在定义域上单调递增或单调递减,只能说在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上也单调递减。

二、“在区间上单调”和“单调区间是”

例2(1)已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4)上是减函数,则实数a的取值范围为____。

(2)已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的单调递减区间是(-∞,4),则实数a的值为____。

解析

函数f(x)=x2+2(a-1)x+2 的对称轴是直线x=1-a,图像的开口向上,在(-∞,1-a)上单调递减,在(1-a,+∞)上单调递增。

(1)由题意可得(-∞,4)⊆(-∞,1-a),所以1-a≥4,即a≤-3。故所求实数a的取值范围为(-∞,-3]。

(2)由题意可知,函数f(x)=x2+2(a-1)x+2 的单调递减区间是(-∞,4),所以1-a=4,即实数a=-3。

点评

注意“在区间上单调”和“单调区间是”的含义是不相同的。

三、“单调区间”和“定义域”

例3求函数y=(-3+4x-x2)的单调区间。

解析

函数y=(-3+4xx2)是由函数y=t和t=-3+4x-x2复合而成。解题时,先求定义域,再确定单调区间。

由-3+4x-x2=-(x-1)(x-3)>0,可得函数的定义域为(1,3)。

因为函数t=-(x-2)2+1在(1,2]上单调递增,在[2,3)上单调递减,而函数y=是减函数,所以此函数在(1,2]上单调递减,在[2,3)上单调递增。

点评

求函数的定义域,要注意区间的端点的取舍,要注意函数的单调区间是定义域的子集。求函数的单调区间的关键是要先求出函数的定义域。对于复合函数的单调区间,要根据复合函数的单调性法则——同增异减求解。