函数奇偶性的应用

■向正银

函数的奇偶性是函数的重要性质之一,应用函数的奇偶性可求函数的值,比较函数值的大小,解不等式,求函数的值域等。下面举例分析。

一、利用函数的奇偶性求函数的值

例1奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)等于____。

解:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)。因为f(x+2)是偶函数,所以f(-x+2)=f(x+2),所以f(8)=f(6+2)=f(-6+2)=f(-4)=-f(4)。由f(4)=f(2+2)=f(-2+2)=f(0)=0,可得f(8)=0,f(9)=f(7+2)=f(-7+2)=f(-5)=-f(5)。由f(5)=(3+2)=f(-3+2)=f(-1)=-f(1)=-1,可得f(9)=1。故f(8)+f(9)=1。

评析:奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称。已知函数f(x)的奇偶性及f(-x0)的值,可利用f(-x)±f(x)=0求f(x0)的值。

二、利用函数的奇偶性比较函数值的大小

例2若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,则f(0),f(1),f(-2)从小到大的排列是____。

解:因为f(x)是偶函数,所以(m-1)x2-6mx+2=(m-1)x2+6mx+2恒成立,可得m=0,所以函数f(x)=-x2+2。由函数f(x)的图像开口向下,对称轴为y轴,在[0,+∞)上单调递减,可得f(2)

评析:利用奇偶性比较函数值的大小,要结合函数单调性,把自变量转化到同一单调区间内求解。对于偶函数,利用f(-x)=f(x)=f(|x|)可简化运算。

三、利用函数的奇偶性解不等式

例3定义在R 上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2x-1,则满足f(x)<的实数x的取值范围为____。

解:当x>0时,由2x-1<,解得x<2,可得0

综上可得,x<-2 或0

评析:解答本题的关键是利用分类讨论求得实数x的取值范围。

四、利用函数的奇偶性求函数的值域

评析:利用函数的奇偶性,结合函数的单调性可求出函数在指定区间上的值域,这种求函数值域的方法在实际解题中应用很广泛,同学们应重视。