求单调有界数列极限的方法

重庆人文科技学院 熊 灯

一、单调有界数列的基本理论

若数列的项满足不等式则称该数列为递增(递减)数列，递增数列和递减数列称为单调数列。

对任意一数列如果存在某个实数A使得不等式恒成立，则称A为数列的一个上界，同样地，如果存在某个实数B，使得不等式恒成立，则称实数B是数列的一个下界，如果一个数列既有上界，又有下界，则称该数列有界，此时又存在一个正数M，使得

单调有界定理∶在实数中，有界数列必有极限。

二、求单调有界数列的方法

数列在求极限时，我们事先并不知道数列的极限值，我们可以用数列单调有界定理，在求数列极限时，我们先证明极限存在，若极限存在，再求极限，用此定理的关键在于证明数列的单调性、有界性。

证明∶先用数学归纳法再用归纳法证明∶显然a2≥a1， 假设ak≥ak-1，

则从而成立，由上可知{ }单调递增有上界，所以{ }极限存在，

例2 证明数列有极限，并求其值。

证法1：显然＜2。

故对于一切的n∈N，有1≤xn≤2。又因为故 单调递增。由有界原理知或者2。由于0＜ 单调递增，所以A=0不合题意。

证法2：记有f(x)的导数为故f(x)单调递增，从而由现有单调递增，由单调有界定理，可知}收敛，取极限或者2。由于单调递增，所以A=0不合题意。

通过对上面例题的讲解，求单调有界数列就是通过一些公式放缩，证明数列是单调有界即可，然后在原有公式取极限，并求出。

本文主要介绍了单调有界数列的几种求法，加深了对数列的了解，同时通过对单调有界数列的研究，知道了求解不同单调有界数列的方法。

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