更换主元 巧解一道高考压轴题

任孝辉 时英雄

(安徽省合肥市第一中学 230601)

原题再现：(2016年高考新课标Ⅲ卷文)设函数f(x)=lnx-x+1．

(1)讨论f(x)的单调性；

(3)设c>1，证明当x∈(0,1)时，1+(c-1)x>cx.

当00，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减.

(2)由(1)知，f(x)在x=1处取得最大值，最大值为f(1)=0，

所以当x≠1时，lnx

(3)由题设c>1，设g(x)=1+(c-1)x-cx，则g′(x)=c-1-cxlnc．

当x0，g(x)单调递增；当x>x0时，g′(x)<0，g(x)单调递减.

所以当x∈(0,1)时，1+(c-1)x>cx.

试题新解(1)(2)略.

(3)由题设x∈(0,1)，c>1,设h(c)=1+cx-x-cx=xc-cx+1-x,c>1.

h′(c)=x-xcx-1=x(1-cx-1).∵x∈(0,1),∴x-1∈(-1,0).

∴函数m(c)=cx-1在(1，+∞)上是单调递减函数,

∴cx-1<1x-1=1,∴1-cx-1>0.

∴h′(c)=x(1-cx-1)>0，h(c)在(1，+∞)上单调递增.

∴h(c)>h(1)=x-1+1-x=0,所以当c>1，x∈(0,1)时，1+(c-1)x>cx，得证.

评注试题原解构造关于x的函数g(x)=1+(c-1)x-cx，通过对其求导利用(2)的结论，判断出极大值点x0∈(0,1)，得证.新解中构造关于c的函数h(c)=xc-cx+1-x，更换了主元，通过求导直接判断出导函数大于零，证出单调性，使得问题简化许多，进而得证.