利用放缩法求解导数中不等式问题

韩景凤

(山东省邹城市第二中学)

许多导数问题涉及不等式证明,此类问题除了将之转化为函数问题利用导数解决外,灵活运用放缩法也能降低题目的难度.本文通过几道例题,介绍利用放缩法解决导数不等式证明问题,供读者参考.

1 用分式变形放缩

2 用基本不等式放缩

3 对参数赋值放缩

点评

在本题中,利用y＝lnx的单调性,将“当m≤2时,证明f(x)＞0”转化为“当m＝2时,证明f(x)＞0”,这样做既消去了参数,又降低了题目的难度,这是解决多参数问题的一种重要解题思路.

4 用经典不等式放缩

例4已知函数f(x)＝aex－lnx－1,当时,证明:f(x)≥0.

解析

要证明f(x)≥0 恒成立,即证明f(x)＝aex－lnx－1≥0,由于所以只需证ex－1≥lnx＋1＝ln(ex),即证

构造函数h(x)＝xex,则h′(x)＝ex(x＋1)＞0对任意x∈(0,＋∞)恒成立,所以h(x)在(0,＋∞)上是增函数,于是h(x)＞h(0)＝0.下面只需证明x≥ln(ex)＝lnx＋1恒成立,即lnx≤x－1.而此式是可用导数证明的特殊不等式,所以f(x)≥0.

点评

在运用导数证明不等式问题时,利用一些经典恒不等式(如lnx≤x－1,ex≥x＋1)有时可起到事半功倍的作用,但在严格证明问题时,需要注意对这些不等式进行适当推导或证明.

5 构造新函数放缩

点评

在本题中,待证的结论与自然数相关,所以构造一个与此相关的函数,并判断此函数的相关性质,其中恰当地构造函数是顺利解题的关键.

6 用添项或减项放缩

当且仅当x＝0时,等号成立,所以h′(x)在[0,＋∞)上为增函数,于是h′(x)≥h′(0)＝0,所以h(x)在[0,＋∞)上为增函数,故有h(x)≥h(0)＝0,所以当x≥0时,f(x)≤g(x).

点评

由于本题需要证明的不等式比较复杂,所以直接采用作差法很难达到目的.此解法在运用一个经典不等式的基础上,采用了添项放缩处理,成功地简化了待证的不等式,值得注意的是所添的项要保证不等号方向一致,并且取等号条件一致.

(完)