双变量问题的身份识别及破解策略

吴志锋

(广东省佛山市顺德区青云中学)

双变量函数不等式问题是近年高考或模拟考试中的常见题型,常以压轴题的形式出现.处理此类问题的关键是消元,由于双变量的类型不同,消元方法也不同.通过对近年高考试题及模拟试题的分析,不难发现双变量的类型主要有三类,下面举例分析.

1 两个变量没有限制条件

两个变量没有限制条件是指题目中所给的两个变量为函数定义域中任意两个变量,二者地位等价.处理此类问题时可将其中一个变量视为主元,构造关于主元的函数,利用导数研究函数的性质解决问题.

2 两个变量为函数的零点

3 两个变量为函数的极值点

对于可导函数来说,极值点即导函数的零点,即两个变量为导函数的两个零点,f′(x1)＝f′(x2)＝0.此类问题,除了可利用作差、作商消元外,若导函数为二次函数,也可利用根与系数的关系消元.

点评

本题中的双变量为导函数的两个极值点,求导后可知导函数的零点,即为二次函数的零点,故双变量为二次函数的两个零点,即一元二次方程的两根,进而利用根与系数的关系找到两个变量之间的关系,从而将一个变量用另一个变量表示.此类问题也可利用对数均值不等式求解.

(完)