一道导数压轴填空题的多思维探究

张会敏

(吉林省长春市十一高中)

函数、导数以及不等式的交会问题是近年高考数学考查的热点问题,尤其是涉及两个变量x1,x2(要么是函数的零点,要么是函数的极值点)的问题.此类问题因具有一定的抽象性,导致求解思维往往会受阻,从而不易分析、求解.基于此,本文特选取一道典型试题进行多思维探究,旨在帮助学生厘清常用解题思路(包括解题的切入点、关键点等),进一步提高分析、解决此类问题的实际能力.

题目已知函数f(x)＝e2x－e－2x－ax,若函数f(x)有两个不同的极值点x1,x2,且0＜x2－x1＜ln2,则实数a的取值范围是_______.

分析本题具有一定的综合性,涉及函数、导数以及不等式知识的交会,侧重考查学生分析、解决问题的能力.因题设给出了双变量x1,x2满足的不等式0＜x2－x1＜ln2,导致求解实数a的取值范围具有一定的难度.

解先对题设条件进行分析.

因为函数f(x)＝e2x－e－2x－ax,且求导可得f′(x)＝2e2x＋2e－2x－a,所以根据题意可得关于x的方程2e2x＋2e－2x－a＝0有两个不同的实数根x1,x2,且0＜x2－x1＜ln2.

接下来,从不同的角度加以探究,以便顺利求解实数a的取值范围.

思路1可采取最基本的方法,先求得x1,x2(利用实数a表示),再结合不等式0＜x2－x1＜ln2获得关于实数a的不等式,解之,即可得到实数a的取值范围.

方法1因为方程2e2x＋2e－2x－a＝0,即2e2x＋2e－2x＝a,据此可知a＞0.

对方程2e2x＋2e－2x－a＝0,变形得2(e2x)2－ae2x＋2＝0,因为该方程有两个不同的实数根,所以Δ＝a2－16＞0,即a2＞16.又a＞0,所以a＞4.

于是,由一元二次方程的求根公式可得e2x＝所以

综上,实数a的取值范围是(4,5).

点评

该解法尽管看起来计算量较大,但是解题思路比较流畅、自然.此外,学生解题时需要关注一元二次方程的求根公式与对数运算法则以及解不等式知识的灵活运用.

思路2由于经过换元(设e2x＝t)之后,可将方程2e2x＋2e－2x－a＝0转化为关于“t”的一元二次方程,从而可借助根与系数的关系加以灵活分析、转化目标问题(转化为求解相关函数的值域),最后利用函数的单调性即可使问题顺利获解.

思路3注意到函数h(x)＝2e2x＋2e－2x－a是偶函数,其图像关于y轴对称,所以可知方程2e2x＋2e－2x－a＝0的两个不同的实数根x1,x2互为相反数.据此,可充分借助“消元”技巧分析、转化目标问题,最后利用函数观点即可使问题顺利获解.

方法3设函数h(x)＝2e2x＋2e－2x－a,则因为h(－x)＝h(x),所以h(x)是偶函数,故根据该函数图像关于y轴对称可知h(x)的两个不同零点互为相反数,即方程2e2x＋2e－2x－a＝0的两个不同的实数根x1,x2互为相反数,所以x1＋x2＝0.

综上,实数a的取值范围是(4,5).

点评

该解法的切入点是灵活运用函数h(x)＝2e2x＋2e－2x－a图像的对称性,获得x1＋x2＝0,解题关键是通过消元(消去x1)将原问题等价转化为求解函数g(x)＝2ex＋2e－x(0＜x＜ln2)的值域,体现了函数思想、转化思想在解题中的灵活运用,显然对学生的数学抽象思维能力的考查比较深刻、到位.进行类似分析(消去x2)可知,本题亦可等价转化为求解函数g(x)＝2ex＋2e－x(－ln2＜x＜0)的值域.

此外,该解法在得到0＜2x2＜ln2之后,也可这样求解:因为所以2x2是方程2ex＋2e－x－a＝0的实数根,故2x2是函数m(x)＝2ex＋2e－x的图像与直线y＝a的交点的横坐标.于是,结合0＜2x2＜ln2即知在区间(0,ln2)上,函数m(x)＝2ex＋2e－x的图像与直线y＝a有交点.又易知在区间(0,ln2)上,函数m(x)＝2ex＋2e－x单调递增,所以可得m(0)＜a＜m(ln2),即4＜a＜5,故实数a的取值范围是(4,5).

总之,在函数、导数以及不等式的交会问题中,若涉及两个变量x1,x2,且目标是求解参数的取值范围,则处理问题的关键就是想办法先转化问题,再灵活运用函数观点分析、求解.值得关注的是,通过此类问题的求解,能够提高学生对函数、导数以及不等式知识的综合运用能力,同时能够较好地培养学生数学抽象与数学运算等核心素养.

链接练习

链接练习参考答案

1.A. 2.C. 3.D. 4.(－11,3).

(完)