关于解决导数隐零点问题的方法

尹子铭

(黑龙江省哈尔滨师范大学教师教育学院)

1 相关概念

1.1 函数的零点

对于一般函数y＝f(x),我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解,也就是函数f(x)＝0的图像与x轴的公共点的横坐标.

1.2 隐零点

若函数y＝f(x)存在零点x0,但无法精确解出x0的值,则称x0为隐零点.

注:1)此类函数一般为超越函数(含ex,lnx,sinx等)或高次函数;

2)有时通过观察函数特点或带入特殊值即可猜出零点的情况,如f(x)＝ex－sinx－1,其零点x＝0不能称为隐零点.

1.3 函数零点存在定理

若函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)＜0,那么函数y＝f(x)在区间(a,b)上至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的解.

2 解题步骤

首先,用函数零点存在定理判断导函数零点的存在性,列出零点方程f′(x)＝0,并结合f(x)的单调性得到零点的范围.然后,以零点为分界点,说明导函数f′(x)的正负情况,进而得到f(x)的最值表达式.最后,求解问题.注:隐零点代换的两个关键步骤是“虚设零点(并缩小范围)”和“整体代换”.

3 实例分析

3.1 整体代换

例1设函数f(x)＝e2x－alnx.

(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数;

(2)证明:当a＞0时,

解析

(1)由已知得f′(x)＝当a≤0时,f′(x)＞0 恒成立,f′(x)无零点.下面讨论当a＞0时,f′(x)零点的个数.

当a＞0 时,f′(x)在(0,＋∞)上单调递增,且f′(a)＝2e2a－1＞0,根据零点存在定理:难点是要找到一个0＜x1＜a,使得f′(x1)≤0,从而证明f′(x)存在唯一零点.

(2)由(1)知f′(x)有唯一零点,设零点为x0,当x∈(0,x0)时,f′(x)＜0,f(x)单调递减;当x∈(x0,＋∞)时,f′(x)＞0,f(x)单调递增,故f(x)在x＝x0处取得最小值,即fmin(x)＝f(x0)＝e2x0－alnx0.

点评

本题通过整体代换将超越式转化为普通式降低问题难度.在本例中,将得到的普通式2x0＝lna－ln2x0整体代入f(x0),再利用基本不等式将其化简,从而得到结论.

3.2 反代消参

例2已知f(x)＝x3－3x2＋ax＋2,曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.

(1)求a;

(2)证明:当k＜1时,曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点.

解析

(1)易求得f′(x)＝3x2－6x＋a,f′(0)＝a,则y＝f(x)在(0,2)处的切线方程为y＝ax＋2.因为切线与x轴交点的横坐标为－2,所以－2a＋2＝0,解得a＝1.

(2)当a＝1时,f(x)＝x3－3x2＋x＋2.令

由题设知1－k＞0,当x≤0时,有

g(x)单调递增,又g(－1)＝k－1＜0,g(0)＝4＞0,所以由零点存在定理得存在x0∈(－1,0),使得g(x0)＝0,故g(x)在(－∞,0]有唯一零点.

当x＞0时,令h(x)＝x3－3x2＋4,则h′(x)＝3x(x－2),故h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,＋∞)单调递增,所以当x＝2时,h(x)取得最小值h(2)＝0.又g(x)＝h(x)＋(1－k)x＞h(x),所以g(x)＞h(x)≥h(2)＝0,故g(x)在(0,＋∞)上无零点.

综上,当k＜1时,曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点.

点评

若问题要求证的结论与参数无关,这时我们一般不用参数表示零点,而是反过来用零点表示参数,然后把极值函数变成关于零点的单一函数,再次求导即可解决相应函数的单调性、极值、最值、不等式证明等问题.

3.3 降次留参

例3已知函数f(x)＝alnx－ax＋1.

(1)讨论函数f(x)的单调性;

解析

(1)对函数f(x)求导可得

当a＝0时,f(x)＝1(x＞0)为常值函数,不具有单调性.

当a＞0 时,由f′(x)＞0,可得0＜x＜1;由f′(x)＜0,可得x＞1,故f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减.

当a＜0时,由f′(x)＞0,可得x＞1;由f′(x)＜0,可得0＜x＜1,故f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增.

由题意可得g′(x)＝0 有两个不同的正根,则x2－ax＋a＝0有两个不同的正根,故

可得a＞4.又

点评

本题要求证的结论与参数有关,因此可以利用关系式f′(x0)＝0(大部分情况下可转化为二次方程),在保留参数的情况下,不断把零点的次数降到不可再降为止,再结合其他条件,建立含参数的方程(或不等式),即可求出参数的值或范围.

通过实例及真题可以得出:函数的隐零点问题经常出现在与极值有关的不等式的证明题中,我们通常利用隐零点代换的手段对函数的极值进行适当变形,从而完成相关函数不等式的证明.

(完)