试析高中数学中椭圆与双曲线交点的问题

刘钦泽

摘 要：椭圆与双曲线问题是高中数学中非常重要的两个知识点并且在考试的时候也是重要的考点，所以在学习的过程中学生对于椭圆与双曲线交点的问题一定要做到心中有数，对于每一种交点的情况应该非常熟悉，能够结合实际问题情境，采用椭圆与双曲线交点的知识解决问题，因为很多题目都是围绕椭圆与双曲线相交或者相切的问题再延伸。在读题的过程中要善于识别并且找准解题突破点，本文就高中数学中椭圆与双曲线交点问题的种种情况进行了细致的探究，并且就如何解决相关的应用题提出了几点建立。

关鍵词：高中数学；椭圆；双曲线；交点；相切；相交

一、高中数学中椭圆与双曲线交点的问题

高中数学中椭圆与双曲线的交点问题主要涉及到四种情形，分别是当椭圆和双曲线的长轴都在x轴上时；椭圆与双曲线的长轴都在y轴上时；椭圆的长轴在x轴上，双曲线的交点在y轴上时；椭圆的长轴在y轴上，双曲线的长轴在x轴上；这四种情况的解题思路是类似的，前提都是建立在对椭圆和双曲线性质熟练掌握的基础上的，设四种情况下椭圆的长轴长均为a，短轴长均为b，双曲线的长轴长均为d，虚短轴长均为e。设它们在有交点的情况下的交点为M。下面对于这四种交点问题进行细致的探究。

（一）椭圆和双曲线的长轴都在x轴上

当椭圆与双曲线的长轴都在x轴上时又分为以下三种情况：当ad时，椭圆与双曲线有四个交点，根据椭圆与双曲线关于x轴、y轴对称的性质，四个交点关于x轴、y轴对称。所以可设在第一象限的交点为M1（x0，y0），第二象限内交点M2（-x0，y0），第三象限内交点M3（-x0，-y0），第四象限内交点M4（x0，-y0）。首先，联立椭圆与双曲线的方程解出椭圆和双曲线的四个交点分别为M1（ad，be），M2（-ad，be），M3（-ad，- be），M4（ad，- be）。

（二）椭圆与双曲线的长轴都在y轴上

当椭圆与双曲线的长轴都在y轴上时又分为以下三种情况：当ad时，椭圆与双曲线的图像存在四个交点，交点存在对称性，所以可设在第一象限的交点为M1（x0，y0），第二象限内交点M2（-x0，y0），第三象限内交点M3（-x0，-y0），第四象限内交点M4（x0，-y0）。根据交点情况，结合椭圆与双曲线的方程得出椭圆和双曲线的四个交点，分别为M1（be，ad），M2（-be，ad），M3（-be，- ad），M4（be，-ad）。

（三）椭圆的长轴在x轴上，双曲线的交点在y轴上

椭圆的长轴在x轴上，双曲线的交点在y轴上，两者的位置关系同样根据两者的长短轴的关系分为三种情况：当bd时，椭圆与双曲线的图像存在四个交点，四个交点分别存在于第一、二、三、四象限内，设在第一象限的交点为M1（x0，y0），第二象限内交点M2（-x0，y0），第三象限内交点M3（-x0，-y0），第四象限内交点M4（x0，-y0）根据两者的交点情况，结合椭圆与双曲线的方程，联立得出椭圆和双曲线的四个交点为M1（ae，bd），M2（-ae，bd），M3（-ae，-bd）， M4（ae，-bd）。

（四）椭圆的长轴在y轴上，双曲线的长轴在x轴

当椭圆的长轴在y轴上，双曲线的长轴在x轴上时，两者的位置关系同样根据两者的长短轴的关系分为三种情况：当bd时，椭圆与双曲线的图像有四个交点，我们仍然可以设在第一象限的交点为M1（x0，y0），第二象限内交点M2（-x0，y0），第三象限内交点M3（-x0，-y0），第四象限内交点M4（x0，-y0）（根据两者的交点情况，结合椭圆与双曲线的方程，联立得出椭圆和双曲线的四个交点为M1（bd，ae），M2（- bd，ae），M3（-bd，-ae）， M4（bd，- ae）。

二、结语

综上所述，对于椭圆与双曲线的交点问题是高中数学经常考察的内容，所以在遇到此类问题的时候一定要善于辨析，找出两者的位置关系充分结合椭圆与双曲线的图形，对于不同情况下图像的表示情况，结合两者的方程，接触问题，对于椭圆与双曲线的交点问题，什么情况下有几个交点，怎么根据具体的方程式解出答案都是值得仔细思考的，对于两者的交点问题能够在理解的基础上，结合图像，加强记忆，这样对于很多涉及到椭圆与双曲线交点的问题就能迎刃而解。

参考文献：

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