指数函数与幂函数图象的交点的探究性学习

邹云

高三总复习已进行了一段时间.一天，我在做练习时遇到下题：

a>1，y=a2与其反函数的图象（ ）

A. 没有交点 B.有且只一个交点

C.有且只有两个交点 D.至多有两个交点

我思考：根据反函数的性质，若a>y，y=ax与其反函数的图象有交点，交点个数少于3个，则a>1，y=ax的图象与直线y=x必有交点，且它们的交点相同.试着解方程ax=x，结果无从下手；又试着画函数图象，还是一筹莫展.请教老师，老师提示：取特殊值试试！于是我试着取a=2，y=2x， 的图象全在直线y=x的上方，再取a=1.1，发现它们的图象相交了！上题选（D）无疑.

高兴之余，我的思考没有止步.因a（a>1）取不同值时，y=ax的图象与直线y=x可以没有交点，也可以有两个交点，那么当a取某个特殊值时，y=ax的图象与直线y=x必然只有一个交点，这个值是多少呢？这个问题引起了我强烈的探究欲望.于是开始了下面的探究之旅.

1.y=ax（a>1）的图象与直线y=x有且只有一个交点，求a的值.

解 设y=ax（a>1）的图象与直线y=x的唯一交点为A（t，at），

则y′|x=t=atlna，于是

atlna=1，

at=t.（1）

（2）

由（1）得：t=loga1lna，

代入（2）得：1lna=loga1lna，a=e1/e.

∴y=ax（a>1）的图象与直线y=x，当a=e1/e时，有唯一交点，当1e1/e时没有交点.

2.我又想，把直线y=x改成抛物线y=x2情况又如何呢？于是又有了下面的问题：

y=ax（a>1）的图象与抛物线y=x2在y轴的右边有且只有一个交点，求a的值.

分析 设y=ax（a>1）的图象与抛物线y=x2在y轴的右边的交点为A（t，at），有at=t2，但仿前用斜率无法再列出第二个方程.能否换一个思路呢？

解 当x>0时，ax=x2logax=x2，令f（x）=logax，g（x）=x2x.它们在y轴右边应当有唯一交点.设唯一交点为

A（t，at），则：

f ′（t）=1tlna=1n，

logat=1nt.（1）

（2）

由（1）得，t=2tlna代入（2）可得：loga2tlna， a=e2/e.

∴y=ax（a>1）的图象与抛物线y=x2，当a=e2/e时，在y轴右边有唯一交点，当1e2/e时在y轴右边没有交点.

3.一般情况呢？猜想：当a=en/e时，y=ax（a>1）与幂函数y=xn（n∈N*）的图象在y轴右边有且只有一个交点.

解 当x>0时，ax=xnlogax=

1nx，令f（x）=logax，g（x）=1nx，设它们在y轴右边的唯一交点为A（t，at），则：

f ′（t）=1tlna=1n，

logat=1nt.（1）

（2）

由（1）得t=ntlna，

代入（2）可得：logantlna=1tlna， a=en/e.

∴y=ax（a>1）的图象与抛物线y=xn，当a=en/e时，在y轴右边有唯一交点，当1en/e时在y轴右边没有交点.

综上，y=ax（a>1）与幂函数y=xn（n∈N*）的图象的交点情况如下：

n是奇数时：（y轴左边没有交点）

当1

当a=en/e时，有一个交点；

当a>en/e时，没有交点.

n是偶数时：（y轴左边一定有一个交点）

当1

当a=en/e时，有两个交点；

当a>en/e时，有一个交点.

总复习时，有好多同学陷在知识与题海中，只见树木，不见森林，被动复习，疲于应付，体会不到数学学习的乐趣，复习效果不好.读数学书与读文学书一样，既要读进去，又要读出来.这读出来的诀巧就是主动思考，探究学习.探究性学习可以提高复习效率，改善所掌握知识的质量，培养数学思维能力和创新能力，体验数学成功，提高决胜高考的把握.

他的手机收上来，然后再好好地给他们讲道理，最有效的办法是帮他们补课，学生在这时会非常感动的，真的会大大提高学生的学习动力的.其实学生的学习除了老师的教育外，也非常需要一个良好的家庭环境.仔细观察每年班里的问题学生大多都是再婚家庭或是父母不和的家庭，前几天我班上有一个女生，在做10道填空题时错了8题，上课时总是心不在焉，通过了解原来是她的父亲在前几年病逝了，她母亲再婚后，这几天又在闹离婚所以就没心思学习了.于是我就又和她讲，让她重新恢复了学习的动力.我觉得学校与家庭都应该给学生一个好的学习环境，让学生没有学习的后顾之忧，这样学生才能认真的学习，这就要求我们教师要关心好学生课堂外的时间，去真正地了解学生.

作为数学教师我深深地体会到，无论我们面对怎样基础的学生，我们都应该动足脑筋，充分挖掘各方面的因素，去提高学生的学习动力，学生只要有了学习的动力，学习肯定会上去的.

高三总复习已进行了一段时间.一天，我在做练习时遇到下题：

a>1，y=a2与其反函数的图象（ ）

A. 没有交点 B.有且只一个交点

C.有且只有两个交点 D.至多有两个交点

我思考：根据反函数的性质，若a>y，y=ax与其反函数的图象有交点，交点个数少于3个，则a>1，y=ax的图象与直线y=x必有交点，且它们的交点相同.试着解方程ax=x，结果无从下手；又试着画函数图象，还是一筹莫展.请教老师，老师提示：取特殊值试试！于是我试着取a=2，y=2x， 的图象全在直线y=x的上方，再取a=1.1，发现它们的图象相交了！上题选（D）无疑.

高兴之余，我的思考没有止步.因a（a>1）取不同值时，y=ax的图象与直线y=x可以没有交点，也可以有两个交点，那么当a取某个特殊值时，y=ax的图象与直线y=x必然只有一个交点，这个值是多少呢？这个问题引起了我强烈的探究欲望.于是开始了下面的探究之旅.

1.y=ax（a>1）的图象与直线y=x有且只有一个交点，求a的值.

解 设y=ax（a>1）的图象与直线y=x的唯一交点为A（t，at），

则y′|x=t=atlna，于是

atlna=1，

at=t.（1）

（2）

由（1）得：t=loga1lna，

代入（2）得：1lna=loga1lna，a=e1/e.

∴y=ax（a>1）的图象与直线y=x，当a=e1/e时，有唯一交点，当1e1/e时没有交点.

2.我又想，把直线y=x改成抛物线y=x2情况又如何呢？于是又有了下面的问题：

y=ax（a>1）的图象与抛物线y=x2在y轴的右边有且只有一个交点，求a的值.

分析 设y=ax（a>1）的图象与抛物线y=x2在y轴的右边的交点为A（t，at），有at=t2，但仿前用斜率无法再列出第二个方程.能否换一个思路呢？

解 当x>0时，ax=x2logax=x2，令f（x）=logax，g（x）=x2x.它们在y轴右边应当有唯一交点.设唯一交点为

A（t，at），则：

f ′（t）=1tlna=1n，

logat=1nt.（1）

（2）

由（1）得，t=2tlna代入（2）可得：loga2tlna， a=e2/e.

∴y=ax（a>1）的图象与抛物线y=x2，当a=e2/e时，在y轴右边有唯一交点，当1e2/e时在y轴右边没有交点.

3.一般情况呢？猜想：当a=en/e时，y=ax（a>1）与幂函数y=xn（n∈N*）的图象在y轴右边有且只有一个交点.

解 当x>0时，ax=xnlogax=

1nx，令f（x）=logax，g（x）=1nx，设它们在y轴右边的唯一交点为A（t，at），则：

f ′（t）=1tlna=1n，

logat=1nt.（1）

（2）

由（1）得t=ntlna，

代入（2）可得：logantlna=1tlna， a=en/e.

∴y=ax（a>1）的图象与抛物线y=xn，当a=en/e时，在y轴右边有唯一交点，当1en/e时在y轴右边没有交点.

综上，y=ax（a>1）与幂函数y=xn（n∈N*）的图象的交点情况如下：

n是奇数时：（y轴左边没有交点）

当1

当a=en/e时，有一个交点；

当a>en/e时，没有交点.

n是偶数时：（y轴左边一定有一个交点）

当1

当a=en/e时，有两个交点；

当a>en/e时，有一个交点.

总复习时，有好多同学陷在知识与题海中，只见树木，不见森林，被动复习，疲于应付，体会不到数学学习的乐趣，复习效果不好.读数学书与读文学书一样，既要读进去，又要读出来.这读出来的诀巧就是主动思考，探究学习.探究性学习可以提高复习效率，改善所掌握知识的质量，培养数学思维能力和创新能力，体验数学成功，提高决胜高考的把握.

他的手机收上来，然后再好好地给他们讲道理，最有效的办法是帮他们补课，学生在这时会非常感动的，真的会大大提高学生的学习动力的.其实学生的学习除了老师的教育外，也非常需要一个良好的家庭环境.仔细观察每年班里的问题学生大多都是再婚家庭或是父母不和的家庭，前几天我班上有一个女生，在做10道填空题时错了8题，上课时总是心不在焉，通过了解原来是她的父亲在前几年病逝了，她母亲再婚后，这几天又在闹离婚所以就没心思学习了.于是我就又和她讲，让她重新恢复了学习的动力.我觉得学校与家庭都应该给学生一个好的学习环境，让学生没有学习的后顾之忧，这样学生才能认真的学习，这就要求我们教师要关心好学生课堂外的时间，去真正地了解学生.

作为数学教师我深深地体会到，无论我们面对怎样基础的学生，我们都应该动足脑筋，充分挖掘各方面的因素，去提高学生的学习动力，学生只要有了学习的动力，学习肯定会上去的.

高三总复习已进行了一段时间.一天，我在做练习时遇到下题：

a>1，y=a2与其反函数的图象（ ）

A. 没有交点 B.有且只一个交点

C.有且只有两个交点 D.至多有两个交点

我思考：根据反函数的性质，若a>y，y=ax与其反函数的图象有交点，交点个数少于3个，则a>1，y=ax的图象与直线y=x必有交点，且它们的交点相同.试着解方程ax=x，结果无从下手；又试着画函数图象，还是一筹莫展.请教老师，老师提示：取特殊值试试！于是我试着取a=2，y=2x， 的图象全在直线y=x的上方，再取a=1.1，发现它们的图象相交了！上题选（D）无疑.

高兴之余，我的思考没有止步.因a（a>1）取不同值时，y=ax的图象与直线y=x可以没有交点，也可以有两个交点，那么当a取某个特殊值时，y=ax的图象与直线y=x必然只有一个交点，这个值是多少呢？这个问题引起了我强烈的探究欲望.于是开始了下面的探究之旅.

1.y=ax（a>1）的图象与直线y=x有且只有一个交点，求a的值.

解 设y=ax（a>1）的图象与直线y=x的唯一交点为A（t，at），

则y′|x=t=atlna，于是

atlna=1，

at=t.（1）

（2）

由（1）得：t=loga1lna，

代入（2）得：1lna=loga1lna，a=e1/e.

∴y=ax（a>1）的图象与直线y=x，当a=e1/e时，有唯一交点，当1e1/e时没有交点.

2.我又想，把直线y=x改成抛物线y=x2情况又如何呢？于是又有了下面的问题：

y=ax（a>1）的图象与抛物线y=x2在y轴的右边有且只有一个交点，求a的值.

分析 设y=ax（a>1）的图象与抛物线y=x2在y轴的右边的交点为A（t，at），有at=t2，但仿前用斜率无法再列出第二个方程.能否换一个思路呢？

解 当x>0时，ax=x2logax=x2，令f（x）=logax，g（x）=x2x.它们在y轴右边应当有唯一交点.设唯一交点为

A（t，at），则：

f ′（t）=1tlna=1n，

logat=1nt.（1）

（2）

由（1）得，t=2tlna代入（2）可得：loga2tlna， a=e2/e.

∴y=ax（a>1）的图象与抛物线y=x2，当a=e2/e时，在y轴右边有唯一交点，当1e2/e时在y轴右边没有交点.

3.一般情况呢？猜想：当a=en/e时，y=ax（a>1）与幂函数y=xn（n∈N*）的图象在y轴右边有且只有一个交点.

解 当x>0时，ax=xnlogax=

1nx，令f（x）=logax，g（x）=1nx，设它们在y轴右边的唯一交点为A（t，at），则：

f ′（t）=1tlna=1n，

logat=1nt.（1）

（2）

由（1）得t=ntlna，

代入（2）可得：logantlna=1tlna， a=en/e.

∴y=ax（a>1）的图象与抛物线y=xn，当a=en/e时，在y轴右边有唯一交点，当1en/e时在y轴右边没有交点.

综上，y=ax（a>1）与幂函数y=xn（n∈N*）的图象的交点情况如下：

n是奇数时：（y轴左边没有交点）

当1

当a=en/e时，有一个交点；

当a>en/e时，没有交点.

n是偶数时：（y轴左边一定有一个交点）

当1

当a=en/e时，有两个交点；

当a>en/e时，有一个交点.

总复习时，有好多同学陷在知识与题海中，只见树木，不见森林，被动复习，疲于应付，体会不到数学学习的乐趣，复习效果不好.读数学书与读文学书一样，既要读进去，又要读出来.这读出来的诀巧就是主动思考，探究学习.探究性学习可以提高复习效率，改善所掌握知识的质量，培养数学思维能力和创新能力，体验数学成功，提高决胜高考的把握.

他的手机收上来，然后再好好地给他们讲道理，最有效的办法是帮他们补课，学生在这时会非常感动的，真的会大大提高学生的学习动力的.其实学生的学习除了老师的教育外，也非常需要一个良好的家庭环境.仔细观察每年班里的问题学生大多都是再婚家庭或是父母不和的家庭，前几天我班上有一个女生，在做10道填空题时错了8题，上课时总是心不在焉，通过了解原来是她的父亲在前几年病逝了，她母亲再婚后，这几天又在闹离婚所以就没心思学习了.于是我就又和她讲，让她重新恢复了学习的动力.我觉得学校与家庭都应该给学生一个好的学习环境，让学生没有学习的后顾之忧，这样学生才能认真的学习，这就要求我们教师要关心好学生课堂外的时间，去真正地了解学生.

作为数学教师我深深地体会到，无论我们面对怎样基础的学生，我们都应该动足脑筋，充分挖掘各方面的因素，去提高学生的学习动力，学生只要有了学习的动力，学习肯定会上去的.