对原函数与反函数图像交点问题的再探究

董令华

文［1］通过例题分析探索了互为反函数的两个函数图像交点个数的可能情况，读后很受启

发，笔者在此想对单调函数的互为反函数的图像交点个数问题作进一步探究，供同仁参考.

一、与反函数有关的两个常见命题

命题1 单调函数必有反函数，且互为反函数的两个函数单调性相同；存在反函数的函数不一定是单调函数^{［2］［3］}.

命题2 单调增的函数与其反函数如果有交点，则交点必在直线y=x上；单调减的函数与其反函数如果有交点，交点不一定都在直线y=x上.

下面仅对命题2进行证明：

设单调函数f(x)与其反函数图像的一个交点是(a,b)，则点(b,a)也必是两函数图像的另一个交点，且b=f(a),a=f(b).

①若y=f(x)单调增，则要证明两图像交点在直线y=x上，只需证明a=b.

下面用反证法证明，假设a≠b.

若a>b且f(x)是增函数，则a=f(b)a，这与条件a>b矛盾，a>b不可能.

同理a

即若y=f(x)单调递增，互为反函数的两函数图像交点必在直线y=x上.

②若y=f(x)单调递减，假定a

同理，b

只有当a=b时，两图像交点才在直线y=x上.

综上所述，命题2得证.

二、对两个流行性反例的解释

文［1］、［2］、［3］对命题“互为反函数的两个函数图像交点必在直线y=x上”判断时都举出了例子y=1x和y=-1x.

依据命题2，对两个例子解释如下：

(1)y=1x(x>0,x<0,x≠0)与其反函数分别对应于y=1x(x>0,x<0,x≠0)，也就是它本身，因而两图像重合，且有无数个交点，此时y=

1x在x>0或x<0时是单调减函数，其交点不一定都在y=x上，符合命题2.

(2)y=-1x(x>0)在x∈(0,+∞)时单调增，而其反函数是y=-1x(x<0)，此时两函数根本没有交点，当然也就不存在交点在y=x上.

同理y=-1x(x<0)与其反函数y=-1x(x>0)的图像也没有交点.

只是y=-1x(x≠0)与其反函数y=-1x(x≠0)的图像重合，且与直线y=x没有交点，这也符合命题2.

这样，文［1］结束语就更加完整.

参考文献

［1］钱文颖，邵春和.原函数与反函数图像交点问题的探究.数学教学，2006，5.

［2］赵芝川.解析反函数，数学教学.2006，5.

［3］王德明.如何理解“y=f(x)”的一些问题.数学教学.2006，5.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文