抽象函数及其导函数的性质探究及应用

孙志鹏

(山东省济南第七中学)

由于近年高考数学真题以及模拟试题中出现了一类比较新颖的数学问题,即侧重考查抽象函数及其导函数性质的灵活运用,所以学生有必要认真探究有关抽象函数及其导函数的常用性质,以便在选择题或填空题中直接运用,同时也有利于提高解题的准确性,进而提升数学核心素养.

1 性质探究

问题1已知函数f(x)是奇函数(或偶函数),试探究其导函数f′(x)的奇偶性.

探究1若f(x)是奇函数,则f(－x)＝－f(x),两边求导可得－f′(－x)＝－f′(x),化简得f′(－x)＝f′(x),所以f′(x)是偶函数.

若f(x)是偶函数,则f(－x)＝f(x),两边求导可得－f′(－x)＝f′(x),化简得f′(－x)＝－f′(x),所以f′(x)是奇函数.

结论1若f(x)是奇函数,则其导函数f′(x)是偶函数;若f(x)是偶函数,则其导函数f′(x)是奇函数.

问题2已知函数f(x)的图像关于点(a,0)对称(或关于直线x＝a对称),试探究其导函数f′(x)图像的对称性.

探究2若f(x)的图像关于点(a,0)对称,则f(a＋x)＋f(a－x)＝0,两边求导可得

即f′(a＋x)＝f′(a－x),所以f′(x)的图像关于直线x＝a对称.

若f(x)的图像关于直线x＝a对称,则f(a＋x)＝f(a－x),两边求导得

所以f′(a＋x)＋f′(a－x)＝0,故f′(x)的图像关于点(a,0)对称.

结论2若f(x)的图像关于点(a,0)对称,则其导函数f′(x)的图像关于直线x＝a对称;若f(x)的图像关于直线x＝a对称,则其导函数f′(x)的图像关于点(a,0)对称.

问题3已知f′(x)是奇函数(或偶函数),试探究函数f(x)的奇偶性.

探究3若f′ (x)是奇函数,则因为[f(x)＋C]′＝f′(x)(其中C为常数),所以f(x)＋C是偶函数,则f(－x)＋C＝f(x)＋C,即f(－x)＝f(x),故函数f(x)是偶函数.

若f′(x)是偶函数,则因为[f(x)＋C]′＝f′(x)(其中C为常数),所以f(x)＋C是奇函数,故

即f(－x)＋f(x)＝－2C,所以函数f(x)的图像关于点(0,－C)对称,显然只有当C＝0时,才能保证函数f(x)是奇函数,其他情况下不能得到函数f(x)是奇函数.

结论3若f′(x)是奇函数,则函数f(x)是偶函数;若f′(x)是偶函数,则函数f(x)的图像关于点(0,t)对称(其中t为常数),但f(x)不一定是奇函数.

问题4已知函数f′(x＋a)是奇函数,即f′(x)的图像关于点(a,0)对称(或函数f′(x＋a)是偶函数,即f′(x)的图像关于直线x＝a对称),试探究函数f(x)图像的对称性.

探究4若函数f′(x＋a)是奇函数,则因为[f(x＋a)＋C]′＝f′(x＋a)(其中C为常数),所以f(x＋a)＋C是偶函数,则

即f(－x＋a)＝f(x＋a),故函数f(x)的图像关于直线x＝a对称.

若函数f′(x＋a)是偶函数,则因为[f(x＋a)＋C]′＝f′(x＋a)(其中C为常数),所以f(x＋a)＋C是奇函数,则

即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝－2C,故函数f(x)的图像关于点(a,－C)对称,所以只有当C＝0时,才能保证函数f(x)的图像关于点(a,0)对称,其他情况下不能得到函数f(x)的图像关于点(a,0)对称.

结论4若f′(x)的图像关于点(a,0)对称,则函数f(x)的图像关于直线x＝a对称;若f′(x)的图像关于直线x＝a对称,则函数f(x)的图像关于点(a,t)对称(其中t为常数),但不一定关于点(a,0)对称.

2 应用举例

例1已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x－1)为奇函数,f′(2－x)＋f′(x)＝2,f′(－1)＝2,则

A.13 B.16 C.25 D.51

解析

因为f(x－1)为奇函数,所以f(x)的图像关于点(－1,0)对称,故根据前述结论2 可知f′(x)的图像关于直线x＝－1对称.

因为f′(2－x)＋f′(x)＝2,所以f′(x)的图像关于点(1,1)对称.

于是,函数f′(x)是以4×|1－(－1)|＝8为周期的函数.

在f′(2－x)＋f′(x)＝2中,令x＝1,化简可得f′(1)＝1.

在f′(2－x)＋f′(x)＝2 中,令x＝3,可得f′(－1)＋f′(3)＝2,又f′(－1)＝2,所以f′(3)＝0.

在f′(2－x)＋f′(x)＝2 中,令x＝5,可得f′(－3)＋f′(5)＝2,所以

化简可得f′(5)＝1.

在f′(2－x)＋f′(x)＝2 中,令x＝7,可得f′(－5)＋f′(7)＝2,所以

即f′(3)＋f′(7)＝2,又f′(3)＝0,所以f′(7)＝2.

因为f′(x)是以8 为周期的函数,所以数列{f′(n)}的周期为8,故数列{f′(2n－1)}的周期为4.因此,有

点评

求解本题的关键在于以下两点:一是通过分析f′(x)的周期性,可知数列{f′(2n－1)}的周期性;二是对已知等式f′(2－x)＋f′(x)＝2赋值,求得f′(1),f′(3),f′(5),f′(7)的值.

例2设定义在R上的函数f(x)和g(x)的导函数分别是f′(x)和g′(x),已知f(x)＝g(3－x)－1,f′(x＋1)＝g′(x),且f′(x)的图像关于直线x＝1对称,那么下述结论不一定正确的是( ).

A.f(x)＋f(2－x)＝0

B.f′(2)＝0

C.g(1－x)＝g(1＋x)

D.g′(x)＋g′(2－x)＝0

解析

因为f′(x)的图像关于直线x＝1对称,所以根据前述结论4可知f(x)的图像不一定关于点(1,0)对称,即不一定有f(x)＋f(2－x)＝0成立,故选项A 不一定正确.

因为f(x)＝g(3－x)－1,所以两边求导得f′(x)＝－g′(3－x),令x＝2,得f′(2)＝－g′(1).因为f′(x＋1)＝g′(x),所以令x＝1,得f′(2)＝g′(1).于是,可知f′(2)＋f′(2)＝－g′(1)＋g′(1)＝0,即f′(2)＝0,故选项B一定正确.

因为f′(x)＝－g′(3－x),所以f′(x＋1)＝－g′(2－x),又因为f′(x＋1)＝g′(x),所 以g′(x)＝－g′(2－x),即g′(x)＋g′(2－x)＝0,故选项D 一定正确.

因为g′(x)＋g′(2－x)＝0,所以g′(x)的图像关于点(1,0)对称,所以根据前述结论4 可知函数g(x)的图像关于直线x＝1 对称,即g(1－x)＝g(1＋x),故选项C一定正确.

综上,选A.

点评

本题具有一定的难度,其中选项B,C,D 分析的切入点是对等式f(x)＝g(3－x)－1两边求导,使之能够与题设条件f′(x＋1)＝g′(x)紧密联系起来,从而帮助我们顺利解决目标问题.

对抽象函数及其导函数的常用性质(主要是奇偶性、对称性)进行深入探究,不仅能够帮助我们厘清其中存在的“辩证”关系,而且能够明白其中的具体缘由.显然,理解、掌握了上述关于抽象函数及其导函数性质的常用结论,有助于迅速求解相关选择题和填空题,既大大节约了分析、思考的时间,也避免了一些错误的产生,真可谓高效解题.

(完)