利用函数的对称性巧解题

王 鹿 郑海宁

(山东省淄博市临淄中学)

函数是高中数学的一个重要知识点,在平时解题时我们使用最多的就是函数的单调性,但有时利用函数的对称性往往可获得问题的巧思妙解.为顺利解题,学生需要先理解、掌握以下常用的一般性结论.

1)函数f(x)的图像关于直线x＝对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)对任意x∈R恒成立.

函数f(x)的图像关于点对称⇔f(a＋x)＋f(b－x)＝2m对任意x∈R恒成立.

2)若函数f(x)的图像关于两点(a,m)和(b,m)均对称,或者关于两条直线x＝a和x＝b均对称,则f(x)是以2|a－b|为周期的函数;若函数f(x)的图像关于点(a,m)和直线x＝b均对称,则f(x)是以4|a－b|为周期的函数.

3)若函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R,则函数f(x)的图像关于直线x＝a对称⇔f′(x)的图像关于点(a,0)对称.

函数f(x)的图像关于点(a,b)(其中b∈R)对称⇔f′(x)的图像关于直线x＝a对称.

1 已知含参函数的解析式，求值

例1已知函数f(x)＝(x2＋2x)(x2＋ax＋b),若对一切实数x,均有f(x)＝f(2－x),则f(3)＝_______.

解析

方法1因为f(x)＝f(2－x),所以令x＝0,可得f(0)＝f(2),即4＋2a＋b＝0;令x＝4,可得f(4)＝f(－2),即16＋4a＋b＝0.

方法2由f(x)＝f(2－x)恒成立,可知函数f(x)的图像关于直线x＝1对称,所以f′(1)＝0.对函数f(x)求导得f′(x)＝(2x＋2)(x2＋ax＋b)＋(x2＋2x)(2x＋a),所以4(1＋a＋b)＋3(2＋a)＝0,即7a＋4b＋10＝0.又由f(x)＝f(2－x)恒成立,可知f(0)＝f(2),即4＋2a＋b＝0.

方法3由f(x)＝f(2－x)恒成立,可知函数f(x)的图像关于直线x＝1对称.

又由函数f(x)的解析式易知0 和－2 是函数f(x)的零点,所以根据f(x)图像的对称性可得2和4也是函数f(x)的零点,从而可知方程x2＋ax＋b＝0的根为2 和4,所以2＋4＝－a,2×4＝b,即a＝－6,b＝8,故f(3)＝15[9＋3×(－6)＋8]＝－15.

点评

方法1侧重考虑了x取值的任意性,通过赋值构建方程组求解;方法2的创新在于由函数图像的对称性,获得导函数在x＝1处的函数值为零;方法3充分利用函数图像的对称性,发现函数的另外两个零点,从而由根与系数的关系求得参数a,b的取值.

例2已 知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点,则a＝( ).

解析

方法1求导得f′(x)＝2x－2＋a(ex－1－e－x＋1),所以将f′(x)的图像向左平移一个单位可得f′(x＋1)＝2x＋a(ex－e－x).易知f′(x＋1)是奇函数,所以f′(x)的图像必经过点(1,0),又f′(x＋1)在R上单调递增,所以当x＜1时,f′(x)＜0;当x＞1时,f′(x)＞0,则函数f(x)在(－∞,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增.于是,结合函数f(x)有唯一零点,可得f(1)＝0,解得a＝故选C.

方法2注意到函数y＝x2－2x的图像关于直线x＝1对称,于是想到分析函数g(x)＝ex－1＋e－x＋1的对称性,以便灵活运用函数图像的对称巧妙地求解目标问题.因为g(1＋x)＝ex＋e－x＝g(1－x),所以函数g(x)的图像关于直线x＝1 对称,从而函数f(x)的图像关于直线x＝1对称.结合函数f(x)有唯一零点,可得f(1)＝0,解得a＝故选C.

点评

上述方法1 求解的关键在于灵活运用导数知识以及平移技巧,巧妙分析函数f(x)的单调性,具有一定的难度;方法2求解的关键是灵活运用了函数的对称性,解题思维比较自然、流畅,极具参考价值.此外,函数f(x)图像的对称性,也可通过证明f(1＋x)＝f(1－x)直接获得.

2 处理有关抽象函数问题

综上,选BC.

点评

本题具有较强的抽象性,侧重考查抽象函数图像的对称性以及周期性在解题中的综合运用,同时还侧重考查了函数的对称性与其导数的对称性之间的内在关系在解题中的灵活运用.

综上,选ACD.

点评

本题属于例3的变式,解题关键是灵活应用函数图像的对称性以及周期性,同时需要关注函数f(x)及其导函数f′(x)的对称性的灵活运用.

(完)