一道高考函数题的解法及其推广

江西省赣州市第一中学 彭小明 （邮编：341000）

2013年高考重庆卷文科数字第9题如下：

已知函数f（x）＝ax3＋bsinx＋4（a，b∈R），f（lg（log210））＝5，则f［lg（lg2）］＝ （ ）

A.－5 B.－1 C.3 D.4

解 因为lg［log210］＋lg（lg2）＝lg（log210×lg2）＝lg1＝0，且f（x）＋f（－x）＝8，

f（x）－4＝ax3＋bsinx为奇函数，所以f（lg［log210）］＋f［lg（lg2）］＝8，故选C.

评注 本题考查了形如g（x）＝f（x）－C（C为非零常数）为奇函数，求f（t）＋f（－t）的值，或已知f（t）的值求f（－t）的值的函数题型.关键求出f（t）＋f（－t）的值.

定理 若函数f（x）在定义域D（D关于原点对称）内是奇函数，则在定义域D内任意的x都满足f（－x）＋f（x）＝0，函数f（x）的图象关于原点O（0，0）中心对称，当函数f（x）的最值存在时，最大值与最小值的和为0.

推广 若函数f（x）在定义域D（D关于原点对称）内满足f（x）－C是奇函数（C为非零常数），则在定义域D内任意的x都满足f（－x）＋f（x）＝2C，函数f（x）的图像关于点（0，C）中心对称，当函数f（x）的最值存在时最大值与最小值的和为2C.

应用一 当函数f（x）－C是奇函数时，求f（t）＋f（－t）的值.

A.－1 B.0 C.1 D.2

解析 由f（x）＋f（－x）＝2，lg＝－lg2，得f（lg2）＋f（lg）＝2，答案：D.2 （2012年江西卷文数）已知f（x）＝sin2（x＋）若a＝f（lg5），b＝f（lg），则（ ）

A.a＋b＝0 B.a－b＝0

C.a＋b＝1 D.a－b＝1

解析 由f（x）＝sin2（x＋）＝，得f（x）＋f（－x）＝1，又lg＝－lg5，

所以a＋b＝f（lg5）＋f（lg）＝1故选C.

应用二 当函数f（x）－C是奇函数时，已知f（t）的值求f（－t）的值.

3 （2012年上海卷文数）已知y＝f（x）是奇函数，若g（x）＝f（x）＋2且g（1）＝1，则g（－1）＝________.

解析f（x）是奇函数，则g（x）＋g（－x）＝4，由g（1）＝1得g（－1）＝3，故填3.

4 （2012年上海卷理数）已知y＝f（x）＋x2是奇函数，且f（1）＝1，若g（x）＝f（x）＋2，则g（－1）＝______.

解析 由y＝f（x）＋x2为奇函数且f（1）＝1，得f（1）＋12＋f（－1）＋（－1）2＝0，所以f（－1）＝－3，又g（x）＝f（x）＋2，得g（－1）＝f（－1）＋2＝－1，故填－1.

5 （2011年福建卷理数）对于函数f（x）＝asinx＋bx＋c（其中，a，b∈R，c∈Z），选取a、b、c的一组值计算f（1）和f（－1），所得出的正确结果一定不可能是（ ）

A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2

解析 因f（x）－c＝asinx＋bx为奇函数，所以f（x）＋f（－x）＝2c，又c∈Z，得f（1）＋f（－1）＝2c为偶数.故选D.

6 （2008年福建卷理数）函数f（x）＝x3＋sinx＋1（x∈R），若f（a）＝2，则f（－a）的值为（ ）

A.3 B.0 C.－1 D.－2

解析 由f（x）＋f（－x）＝2，f（a）＝2，得f（－a）＝0，故选B.

7 （2008年重庆卷理数）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2）＋1，则下列说法一定正确的是（ ）

A.f（x）为奇函数

B.f（x）为偶函数

C.f（x）＋1为奇函数

D.f（x）＋1为偶函数

解析 令x1＝x2＝0得f（0）＝f（0）＋f（0）＋1，即f（0）＝－1；

令x1＝x，x2＝－x，则f（0）＝f（x）＋f（－x）＋1，所以f（x）＋f（－x）＝－2.故选C.

8 （2011年湖南卷文数）已知f（x）为奇函数，g（x）＝f（x）＋9，g（－2）＝ 3，则f（2）＝________.

解析 由g（x）＋g（－x）＝18，g（－2）＝3，得g（2）＝15＝f（2）＋9，f（2）＝6.故填6.

9 （2011年广东卷文数）设函数f（x）＝x3cosx＋1若f（a）＝11，则f（－a）＝________.

解析 由f（x）＋f（－x）＝2，f（a）＝11，得f（－a）＝－9，故填－9.

应用三 当函数f（x）－C是奇函数且存在最值时，求最大值与最小值的和.

A.0 B.1 C.2 D.4

解析 由f（x）＋f（－x）＝4，得n＋m＝4，故选D.

解析 由f（x）＋f（－x）＝6，得M＋m＝6.

解析 由f（x）＋f（－x）＝4024，得M＋m＝4024.

15.若定义［－2012，2012］上的函数f（x）满足：对于任意x1，x2∈ ［－2012，2012］有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2）－2011，且当x＞0时有f（x）＞2011，f（x）的最大值、最小值分别为M、N，则M＋N的值为（ ）

A.2011 B.2012 C.4022 D.4024

解析 令x1＝x2＝0，f（0）＝2f（0）－2011，得f（0）＝2011.

令x1＝x，x2＝－x，f（0）＝f（x）＋f（－x）－2011，得f（x）＋f（－x）＝4022，故选C.

解析 由f（x）＋f（－x）＝4，函数f（x）在（－∞，0）上有最小值－5，则f（x）在（0，＋∞）上的最大值为9.