割圆术素材的两次教学改进及分析

浙江省海盐县教研室 沈顺良 （邮编：314300）

在一次高中选修课教研活动中，我们对一节课的教学素材教学进行了研究改进，下面是改进过程的呈现和分析，教学内容是：人教A版2－2第1章第5节第1课时.

1 割圆术素材的两次教学改进

1.1 第一次的割圆术素材的教学处理

首先给出曲边梯形的定义，并提出本节课的主题：求曲边梯形的面积.

我们在以前的学习经历中有没有用直边图形来计算曲边图形面积这样的例子？

然后教师介绍割圆术：

我们曾经用正多边形逼近圆的方法，利用正多边形的面积求出圆的面积，这就是割圆术.

三国时期的数学家刘徽的割圆术：“… 割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣…”

当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积.

在割圆术中为什么用正多边形的面积计算圆的面积？为什么要逐次加倍正多边形的边数？（学生回答有困难）

能不能类比割圆术的思想和操作方法把曲边梯形的面积问题转化为直边梯形的面积问题？进而尽可能有规律地减少误差，使得“直边梯形”的面积越来越接近曲边梯形的面积？

学生分组讨论（学生讨论探究时感觉问题跨度太大，花费时间长，效果不够理想）

问题与思考 上述教学过程是将割圆术的整体过程详细介绍，然后类比探究.在整个过程中，割圆术完整过程的介绍有较大的信息量，也有丰富的方法思想内涵，再加上一般曲边梯形及曲边梯形面积的概念.一方面是量太大，另一方面教学的主要方式是教师的介绍，所以缺乏学生的思考，因此两个“为什么”自然难以回答，更难以类比割圆术的方法和思想去解决一般曲边梯形的面积问题.能否将割圆术的丰富内涵分解成几部分，边介绍边引导学生去探究曲边梯形面积问题.

1.2 第一次改进后的割圆术素材处理

教师先介绍三国时期的数学家刘徽的割圆术：“…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣…”

再直接给出曲边梯形和曲边梯形的面积两个概念（省略），并提出本课课题.

学生分组讨论该如何去近似求曲边梯形的面积，在学生小组展示后比较怎么样的方案较合理？（学生感觉困难）

大家觉得这种分割、逼近解决曲边图形面积的方法是不是有点熟悉呢？我们曾经用正多边形逼近圆的方法，利用正多边形的面积求出圆的面积，这就是割圆术.

教师再次介绍三国时期的数学家刘徽的割圆术：“…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣…”

……

当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积.

在割圆术中为什么用正多边形的面积计算圆的面积？为什么要逐次加倍正多边形的边数？（可能是为了便于计算，为了使近似值能越来越接近圆的面积）

能不能类比割圆术的思想和操作方法把曲边梯形的面积问题转化为直边梯形的面积问题？怎样调整进而尽可能有规律地减少误差，使得“直边梯形”的面积越来越接近曲边梯形的面积？（学生分组讨论或感觉困难，也很少类比割圆术的方法）.

问题与思考 上述教学是将割圆术的介绍过程分解了，边讲故事边引导探究.但由于割圆术对于学生来说有些陌生，并且圆的分割与曲边梯形的分割形式是有些不同，因此教师介绍了割圆术中的各个片断，学生仍难以类比割圆术去解决对应的求曲边梯形面积的问题.

前面引入曲边梯形概念感觉不够自然，特别是其中曲边为什么要放在直角坐标系内？

为什么是要用y＝f（x）来表示有些突然.学生对于直接出来的一般曲边梯形感觉比较抽象，还是和第一次相似，拘泥于曲边梯形概念的教学，因此让学生去解决一般曲边梯形的面积.是否可以将以直代曲的化归和求曲边梯形的面积的探究从特殊到一般.

1.3 第二次改进后的割圆术素材处理

我们之前学习了三角形、长方形、梯形等平面图形的面积.现在我们来看在平面直角坐标系下由f（x）＝x＋2与直线x＝1、x＝2、x轴围成的是什么图形？面积是如何得到的？

如果把f（x）＝x＋2换成如上中图这样的函数图像，如何求围成的图形面积？（用切割法化为矩形和梯形的面积相加，运用的是化归思想）.

如果把折线段换成曲线y＝f（x），那么此时围成的面积又该如何求呢？给出曲边梯形定义并提出本题课题.

如何求抛物线＝x2与直线x＝1、y＝0、x轴所围成的平面图形的面积（近似值也行）？

（四人一小组讨论）

方案一和二分别在局部用矩形替代了小的曲边图形，而方案三是用梯形的面积和代替平面图形的面积，它们都能求得曲边图形面积的近似值.

……

一般对于地，由直线x＝a、x＝b（a≠b）、y＝0和曲线y＝f（x）所围成的平面图形的面积应该如何来求？

……

回顾求曲边梯形面积的整个过程，你能否概括出求这个曲边梯形面积的方法吗？（分割、近似替代、求和、取极限.）

课堂小结 本堂课学习了什么内容？用什么办法解决了求曲边梯形的面积？具体的步骤是怎样的？在解决过程中体现了哪些数学思想？

我们今天的研究和一个很有名问题“割圆术”的研究非常相似，显现了同学们继承了中华民族优秀的数学素养.三国时期的数学家刘徽也经历了这样探究过程，他在《九章算术》中描述：“…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣…”，其中的正多边形分割，刚好切合了今天我们的——等分分割，当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积：体现以直代曲，近似替代，无限逼近.

……

思考 这是特殊到一般分步探究后的割圆术故事安排，学生在特殊到一般的引导下，首先明确了化归思想引领下的以直代曲，然后在解决特殊问题的探究中一方面运用以直代曲，另一方面通过逼近求近似值.由于分成了几个步骤，学生的合作探究解决成为自然.

在问题解决后安排割圆术，一方面有利于不同问题解决中的相同思想方法的突出，另一方面更是利用这样的机会渗透数学历史和中国古代数学发展史的教育.

2 两次教学改进的分析

2.1 教学素材处理要关注学生的认知

从学生的原有认知看，虽然听说过刘徽割圆术但时间已久，学生大多遗忘而难以想到.

从认知水平看，割圆术中包含了分割和以直代曲、逼近等思想方法，还有等分等，有较高的要求.从知识联系看，割圆术对学生来说有些陌生，其中圆的分割与曲边梯形的分割形式上有所不同.

第一次割圆术素材处理教学时，由于信息量大要求也较高，影响了学生的类比探究，学生思考“在割圆术中为什么用正多边形的面积计算圆的面积？”、“为什么要逐次加倍正多边形的边数？”、“我们在以前的学习经历中有没有用直边图形来计算曲边图形面积这样的例子？”，学生接受感到困难.第一次的改进教学中，学生对割圆术的内涵比较陌生，因此大多是没有类比割圆术而是直接求曲边梯形的面积，而且割圆术中的逼近介绍不仅没有起到类比作用，反而影响到曲边梯形面积探究中从化归到逼近的连续性.第二次的改进教学关注了学生的认知基础和水平，从已学知识到新问题的解决，探究中由特殊到一般，从曲边梯形概念的角度，以f（x）＝x＋2与直线x＝1、x＝2、x轴围成的梯形为起点，到“折线梯形”，再到曲边梯形，并且都放在直角坐标系中，较自然地得到曲边梯形概念及研究的坐标系背景.从求面积近似值的角度，以学过的矩形、梯形面积为基础，到抛物线y＝x2与直线x＝1、y＝0、x轴所围成的平面图形的面积，再到一般的曲边梯形面积的解决.从精确要求来看，从熟悉图形面积的精确值，到通过分割转化为已知图形的近似值，最后到极限下的精确值.学生在特殊到一般的引导下，首先明确了化归思想引领下的以直代曲，然后在解决特殊问题的探究中一方面运用以直代曲，另一方面通过逼近求近似值.由于分成了几个步骤，学生的合作探究解决成为自然.

2.2 教学素材处理要关注方法与思想的有效渗透

割圆术素材中蕴含了分割化归（以直代曲）、逼近、等分计算等丰富的方法和思想，第一次教学中，割圆术介绍中虽然将蕴含其中的多种思想方法强调了，但毕竟是介绍的方式学生缺少体验，学生难以类比探究后面的曲边梯形面积，也很少有思想方法的渗透.

第一次改进中，教师虽然设法让学生去感受割圆术各环节中的思想方法，并类比运用于曲边梯形面积的探究，但对于类比解决一般曲边梯形还是跨度过大.第二次改进中，教师在各角度都关注了特殊到一般数学思想的渗透，在此过程中，学生将陌生的曲边图形通过分割化归为熟悉的矩形、梯形问题，也蕴含了化归和以曲代直的数学思想，在由近似到精确的过程中，包含了逼近和极限的思想.由于上述思想的渗透是分解在概念得到、分割、逼近、求极限及小结的各个环节中，最后的割圆术介绍正是突出了以曲代直、逼近、极限等的类比，因此方法与思想的渗透效果更有效.

2.3 教学素材处理要关注情感态度价值观的教学

三维目标要求数学教学中要关注情感态度价值观的教学，通过典型例子的教学，追寻数学发展的历史足迹，帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，体会我国古代数学发展的辉煌，感受数学家的创新精神，逐步形成正确的数学观.

在前面第一次教学及改进中，割圆术素材教学处理更多意在帮助类比探究曲边梯形的面积，在情感态度价值观方面渗透较少.第二次的教学改进则是在曲边梯形面积问题解决后安排割圆术素材教学，除了不同问题解决中相同思想方法的突出，更是利用这样的机会渗透了数学文化的教学，让学生感受到数学的发现、发展就在我们的数学学习中，培养数学学习的兴趣和动机.

1 刘绍学等编.普通高中课程标准实验教科书《数学2－2》教师教学用书［M］.北京：人民教育出版社，2007年1月