初中统计与概率的难点分析及教学对策

安徽省肥西县上派初级中学数学课题组 卫德彬 李祖海 刘 辉 （邮编：231200）

学习心理学指出：不同的年龄、经验程度与学习能力密切相关.现行全日制义务教育《数学课程标准》通盘考虑了九年的课程内容，把“统计与概率”作为一个完整的学习内容板块，与“数与代数”、“图形与几何”及“综合与实践”一起贯穿于义务教育数学课程始终，将“概率统计”放到与代数、几何同等重要地位.统计与概率作为教材中一个新的内容进入数学新课程，必然带来许多教学上的问题.因此，对初中统计与概率的难点剖析及教学策略的探究就显得十分迫切.

1 初中统计与概率的难点分析

统计与概率研究的对象、研究的思路与方式、以及获得的研究结论的性质，都与初中学生过去所接触到的数学内容有根本的不同.他们以往学习的代数、几何属于“确定性”数学，而统计与概率属于“或然性”数学，这对初中生来说是一个大的飞跃.由于知识储备的不足以及新的学习内容与学生已有的认知水平存在的较大落差，初中生在学习统计与概率的知识方面面临着许多的困难.下面就这部分的难点作一点具体分析.

1.1 总体、样本的概念以及用样本估计总体的统计思想

统计学的研究对象是客观现象总体的数量特征和数量关系，以及通过这些数量方面反映出来的客观现象发展变化的规律性.知识结构相对独立，而学生学习这一新知识的知识储备却很少.尽管教材编写大都从对一组数据的收集、整理、计算入手，把学生熟悉的平均数的概念及计算作为学习新概念的起点，为学生正确理解“考察对象”的意义做铺垫，但教师教学时往往忽略了这一铺垫.

用样本的特征来估计总体相应的特征，这与学生习惯的代数运算、几何推理很不一致，学生原有的数学知识（经验）的定势影响着统计思想方法的渗透.

学生生活经验与统计实践的贫乏使得理解“为什么要用样本估计总体”有难度，再加上抽样的随机性以及用不同样本估计总体可能带来的偏差又会造成学生“操作”与“认可”的困难.

1.2 方差的概念

方差是衡量一组数据波动大小的特征数.它与平均数不同，学生几乎没有相关的预备知识，他们难以理解数据的“波动”，对方差的引入感到茫然.

方差的定义抽象、复杂、逻辑性强，这与以形象思维为主的初中学生的思维距离较大，教师教学时若过于直接，没有真正带动学生经历统计活动的全过程，不能展示方差概念的引入、构造乃至形成、修正的创造活动，就难以获得对方差概念的正确认识.

对于容量较大或数据较为复杂的样本，计算方差非常繁杂且易出错，学生很不习惯，往往因缺乏耐心而退却，给巩固深化概念造成障碍.

方差用“s2”表示，与学生知识结构中诸种表示符号不一致，也会造成不适应.

1.3 列频数分布表

了解数据的分布规律，学生虽有把考试成绩列出各分数段人数的经验，但分数段（组距）为10分是固定的，而现实大量数据在刻画分布规律时，组距、组数需要学生自己决定，几次尝试也难以确认哪种方法合适，又无法用结果验证，这对学生长期形成的固定的解题思路和肯定的结论是一次很大的冲击.他们习惯得到明确固定的分组方法，而不适应自己选择组距、组数，因而处理问题时犹豫不决，束手无策，这是列频数分布表的主要困难.

对一组数据列频数分布表，其过程繁琐费时，要求学生十分认真仔细，稍有疏忽便前功尽弃，这与初中学生自制力差、精力集中时间短、意志薄弱的特点形成较大反差，频频失败肯定会造成学生心理上的压力.

1.4 频率与概率

试验频率稳定于理论概率，它是用实验的方法估计随机事件发生的概率的基础.但对于初中学生的知识结构，难以给出一个理论解释，只有借助于大量的重复实验进行感悟、体会、认可.我们实际教学时，由于教师主观上忽视和客观上学时不足，很少引导学生亲自动手实验，收集实验数据，分析实验结果，并将结果与自己的猜测进行比较、筛选，或者没有反复经历这一试验过程，不能消除错误生活经验的迁移，造成认知困难.

随机现象的结果事先无法预料，“大量重复实验时频率可作为事件发生的概率估计值.”的数学思想非常抽象、高度概括，这对于初中学生思维水平和知识经验无疑都存在大的跳跃.我们无法像解方程那样设计题组有易到难，给学生搭几步台阶，只能在大量重复实验中让学生体会、感悟，这是学习内容与教学方法本身的困难.

列举法要求不重不漏的列举出所有在寻找答案时应当加以考虑的各种可能，须思考缜密，十分细心.这对学生思维水平和做题习惯是全新的挑战.

2 初中统计与概率的的教学对策

根据以上分析，初中统计与概率的的教学必须突出重点，突破难点，针对不同的学生基础和不同的学习内容，铺垫阶梯，创设情境，唤起学生原有的认知结构中的有关知识和经验，使破解难点成为发展学生思维水平、增强学习意志和信心，从而获得更广泛的知识和经验的契机.因此，在教学中，要切实作好以下工作：

2.1 突出概率统计的实际意义，激发学生认知需要，树立学习信心

关于方差概念的教学，在学生的生活经验里，往往喜欢用平均数来衡量一组数据.例如小明三次数学考试的成绩是：90，95，100；小颖成绩是：80，80，80.他们通过比较自然判断小明成绩好，因为他的平均分高.如果只是比较二者谁成绩稳定，显然是小颖，但用哪个指标来佐证小颖的稳定性好于小明？平均数、中位数、众数等“平均尺度”皆不奏效，这就为引入新的特征量做好了铺垫.

也可以抛给学生有争议的现实问题让他们裁决，激发求知的内驱力.在引出方差概念时，提出“选拔参加2008北京奥运会的男子10米气步枪射击选手，甲、乙队员各射击5发，预赛成绩如下（环）：

甲：10.9，7，8.2，10.5，8.4

乙：9，9.3，9.6，8.6，8.4

学生观察、分析、计算数据，几经讨论也不能断定.他们急于想解决但仅凭已有知识又无法解决，这就造成了认知上的“冲突”，激发起求知欲望，就为引入方差做好心理上的准备.

再如概率的学习.随机现象表面看毫无规律，出现哪一种结果事先无法预料，概率不能提供准确无误的答案，例如，你从装有99个红球、1个黑球的袋中随意摸出一个，不能保证就是红球；如果天气预报“明天下雨的概率是90%而后天是10%”，但有可能明天晴后天却下雨；在掷硬币游戏中，尽管国徽朝上的概率是50%，连掷5次国徽朝下，再掷第6次也不一定是国徽朝上.这些会给学生造成误导和成见，学习概率没有价值，意义不大，影响着学习的动因及热情.这就需要我们引导学生从他们熟悉的感兴趣的现象入手，经历动手操作、收集和分析试验数据，成功地做出判断与选择，体验概率思维方式的不可替代性及在现实生活中的价值，激发探究乐趣，培养学习信心.

统计与概率内容的设置，除了让学生学习一些最基本的统计分析的方法，而更重要的是要让学生体会统计的作用和基本思想.本学段的学生对现实社会环境中的问题具有越来越强烈的兴趣，这种兴趣是学习这部分内容的一种极好的动力，教学时应着重于对现实问题的探索，引导学生通过对各种案例的分析使学生认识到统计与概率的广泛应用，以及对制定决策的重要作用.教师应当根据学生的自身特点提供丰富的、反映统计与概率思想方法的探索素材，引导他们把对统计与概率的探索从日常生活发展到现实社会和科学技术中感兴趣的领域.如在统计的教学中可以引入以下的例子：根据往年本地同一阶段时间的气温记录预测下一年本地这段时间的气温情况，根据对公共汽车不同时间客流量的统计合理地安排发车等等.

2.2 循序渐进，利用学生已有的认知水平建构新知

寻求学生数学认知结构中与难点最接近的知识或经验，作为新知识生成的“固着点”.例如用样本估计总体的数学思想，这种估计在现实生活和学生经验中是很常见的，可引导学生搜集、举例，比如购瓜子时先品尝几粒，买本子时先翻几页看看，媒体就某一话题的民意调查，商场橱窗的展品，我们体检时的抽血检验等等 ……，把这些学生熟悉的实例作为“固着点”，引导他们分析、概括，再联系教材相关知识，就能顺畅纳入认知结构，自然渗透统计思想方法.

搭桥设梯，分化学生认知水平与难点的落差.例如在总体和样本概念的形成过程中，要解决统计中为什么要研究样本的问题.而在学生生活经验中，涉及的考察对象往往较少或有限，数据容易测定，可以全面准确地统计，不必抽样调查.这时需要让学生体会，在大多现实问题中，全面统计相当困难甚至是不允许的，例如遇到以下情况：

（1）考察对象的全体数量太大，不可能一一统计.如要了解一块试验田里玉米植株的高度，只能从中抽取一部分（如50株）测量.

（2）考察带有破坏性，一一考察就失去了实际意义.如考察某批炮弹的杀伤半径，只能从中抽取一部分（如10发）爆炸试验.

为了进一步体会总体与样本的联系与区别，可设计下列两个问题作为化解难点的阶梯.

问题1 要了解全市100万市民2007年收入水平，从中随机抽取了500名市民.100万市民2007年的收入与从中抽取的市民2007年的收入有什么联系？（学生体会得到：总体、样本都是由个体组成的，样本是总体的一部分，样本在一定程度上反映总体情况，因而可以“用样本特征去估计总体相应特征”.）

问题2 能不能把这500名市民2007年的收入与100万市民2007年的收入等同起来？若抽取5000名呢？50000名呢？500000名呢？（学生讨论得到：样本毕竟是总体的一部分，而不是全部，样本特性与总体特性是有差别的，样本容量越大，对总体的估计就越精确.）

这样总体和样本内在联系就清晰明确了.

2.3 注重让学生经历统计的全过程，通过活动体验统计的思想，建立统计的观念

例如方差概念的形成过程，可以在引导学生解决一个实际问题的活动中完成.质检员为了比较甲、乙两台机床产品的质量，从中抽取10件测量其直径，尺寸如表所述（单位：毫米）.同学们如何比较两台机床的稳定性能？

受前面知识及学生思考习惯的影响，他们会分别求两组数据的平均数，结果相等.但学生不会认定两台机床性能一样稳定，教师因势利导，展开问题：实际生产中，对产品尺寸的偏差是有限制的.经询问质检员，标准是零件直径与规定尺寸偏差不超过0.1毫米时，可视为合格，超过0.1毫米时视为不合格.那么，甲、乙两台机床合格产品各多少件？不合格产品各多少件？

2.1 内源性细菌的除去 SD大鼠40只，用普通饲料喂养1周。在大鼠饮用水中加入氨苄西林2.4 mg∕mL、链霉素0.5 mg∕mL，除去大鼠口腔内的内源性细菌，连续3 d。第3天用棉签取大鼠口腔唾液，接种在TPY固体培养基上，37℃厌氧培养48 h，观察口腔内细菌生长情况。实验大鼠从第3天开始至实验结束都喂养致龋饲料2000#。

易看出，机床甲合格产品4件、不合格产品6件，机床乙合格产品9件、不合格产品1件.这一明显的数字对比足以说明，生产的零件在符合规定方面，机床乙比机床甲好.在事实面前，机床甲承认偏差多、波动大，但它自恃与机床乙平均数相等，就向我们挑战：你们能否设计一个新的特征数，来衡量两组数据的波动大小？这就自然进入新特征量的研制过程.

能否对各数据与其平均数之差进行累加？（不能.经计算，甲、乙两组数据与其平均数差的和都等于0，这个设想不成功.）

怎么造成的累加之和等于零？（因为正、负偏差相互抵消.）

怎样才不会造成正、负偏差相互抵消呢？（各偏差先取绝对值再相加，或各偏差平方后再相加.）

教师顺水推舟采纳先把各偏差平方后再相加的办法，这个“和”用符号Y来表示.请同学们计算y1、y2（y1＝0.26mm2，y2＝0.08mm2）.

显然y1＞y2，由此说明数据乙比数据甲波动小，这与我们的观察、判断是一致的.

有意发难：当用我们设计的特征数y理直气壮地衡量甲、乙两台机床的稳定性时，机床甲却提出了一个要求：仍抽取我的10件零件，但要抽取机床乙的100件零件.同学们能否答应？

学生肯定不会答应，尽管机床乙偏差小较稳定，但多个累加其和增大，会导致，结论将与事实相反.

看来，我们的特征数Y还不完善，它受样本容量的影响.如何排除这一影响？

2.4 强调对抽样与样本的理解

以前人们对某个问题的调查一般是普查，但这种调查方法的局限性很大.出于对费用和时间的考虑，人们逐步认识到需要进行抽查.

抽查与普查相比有如下优点：可行性抽样调查，可大大地节省人力、物力、财力和时间；及时性抽样调查，收集资料的时间短，能及时地进行反馈并作出科学、合理的决策.科学性抽样调查是以概率统计为理论基础，通过计算机实现各种数理统计方法的分析，可充分利用资料中的信息做出比较深刻且较全面的结论.教学时应引导学生根据实际问题的需求，选择不同的方法，合理地选取样本并从样本数据中提取需要的数字特征.不应把统计处理成数字运算和画图表.对统计中的概念应结合具体问题进行描述性说明，不应追求严格的形式化定义.

2.5 强调概率与统计的联系

概率是研究随机现象的，即从随机现象中研究其规律.它为应用数学解决实际问题提供了新的思想和方法.因此，概率教学的核心问题，是让学生了解随机现象与概率的意义.教学中教师应借助日常生活中具体的、可操作的大量实例，鼓励学生动手实验、自主探究，正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，逐步体会概率的意义及频率与概率的区别.还可以利用计算器或计算机进行模拟实验，从直观上认识频率的稳定性，尝试澄清日常生活遇到的一些错误认识，如“中奖率为1／1000的彩票买1000张一定中奖”“若干个人抓阄先抓和后抓抓中的可能性不一样”等等.

应引导学生把概率与统计联系起来看问题，通过频率来估计事件的概率，通过样本的数据对总体的可能性作出估计等.许多的概率模型是建立在大量的数据统计的基础上，例如，天气预报中降雨的概率，防洪标准的制定等.同时，要使学生在随机实验中统计相关的数据，并了解这些数据的概率含义，在数据统计时了解其中所蕴含的随机性，不应把数据的统计与处理理解为只是纯数字的运算.

2.6 鼓励学生自主探索与合作交流，培养学生攻坚克难的意志品质

对于诸如绘频数分布直方图之类的问题，繁杂耗时，稍有不慎，频数累计就出现错误，常使学生畏惧并产生逆反心理.教学时，首先教育学生树立正确的学习态度，养成认真、严谨的学习习惯.让学生知道，从实践中测量得到的一组数据，常使人看起来杂乱无章，毫无规律.经过绘频数分布直方图，清晰形象，特征明了，规律显现，在现实生活中应用非常广泛.进一步结合学生熟悉的实例，如成绩分布图，工程进度统计图，商业营销某商品的统计直方图等，介绍频数分布直方图在表征统计规律上的突出效果及在现实生活的广泛应用，激发学生学习动机，培养良好的意志品质.其次在具体统计频数时，采用一个学生读、一个学生累计、其余学生监督的方式进行唱票，保证正确率.实际练习时，也可分组完成，分工协作，确保一次成功.

研究性学习不仅使学生巩固了本部分所学的统计知识、提高了能力，还学到了一些书本上学不到的东西，如人际交往、社情教育、服务意识、科学的态度和科研的艰辛等，从而培养了学生从事科学研究的精神和品质，为学生的持续发展奠定了基础.

1 中华人民共和国教育部制仃.全日制义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2011

2 李俊.中小学概率的教与学［M］.上海：华东师范大学出版社，2003

3 高海燕，巩子坤.义务教育阶段统计与概率教学研究的进展与问题［J］.数学教育学报，2010（03）

4 张怡慈.中学教育里的统计与概率［J］.数学通报，2006（12）

5 程海奎.概率与统计教学难点分析及教学建议［J］.中国数学教育，2010（03）

6 吴玉红.初中数学中统计与概率的教学研究［J］.高等函授学报（自然科学版），2011（01）