换一些新思路去理解函数的奇偶性

丁亮　杨星光

函数几乎贯穿整个数学，而函数的奇偶性是函数的重要性质之一。所以，理解好、掌握好函数的奇偶性，非常重要。经过反复讨论后，结合多年学习和教学实践，对高中数学里函数的奇偶性提出三点全新的理解，并通过具体例子加以说明，旨在与同仁切磋探讨。

函数奇偶性奇数偶数正数负数函数是整个数学学科中比较难的部分，其逻辑性强，内容枯燥，理解难度大，让很多学生对函数学习产生乏味心理。但是，函数同时也是职业教育数学教学中的重要内容，所以数学教师必须教好它，学生必须学好它。函数的重要性质是把握函数学习的基础，而函数的奇偶性是函数的重要性质之一，所以掌握好函数的奇偶性尤为重要。为此，笔者反复讨论后，结合多年学习和教学实践，独辟蹊径，对函数的奇偶性进行全新的、有趣的三点理解，供同仁参考。

一、从幂指数是整数的情形开始思考

从我们初中学过最简单的一次函数是f（x）=x，最简单的二次函数是f（x）=x2开始我们的讨论。我们发现“偶函数”这三个汉字中有一个“偶”字，偶数的“偶”，而通过f（x）=x2是偶函数，幂“2”也正好是偶数，那我们就大胆猜想，幂是偶数的函数都是偶函数。同样的道理，“奇函数”这三个汉字中有一个“奇”字，奇数的“奇”，而通过f（x）=x=x1是奇函数，幂“1”也正好是奇数，那我们就大胆猜想，幂是奇数的函数都是奇函数。我们又发现，f（x）=1其实蕴含着一个信息即f（x）=1=x0，而幂“0”也是偶数，所以根据我们的猜想，f（x）=1也是偶函数。通过教材中奇偶函数的定义，可以验证我们猜想对于上述函数奇偶性结果的判断都是对的。举一例：f（x）=x4，因为幂“4”是偶数，所以f（x）=x4是偶函数。再举一例：f（x）=x3，因为幂“3”是奇数，所以f（x）=x3是奇函数。通过上述办法，不管数学基础有多差的学生，只要他能分清奇数和偶数，他就能轻松举出无数个奇函数的例子，同时还能举出无数个偶函数的例子，这是一件很好的事。

二、结合初中内容，提出一个特别实用的新思路，处理奇、偶函数混合的情况

作为老师，我们知道：“奇函数×奇函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数，偶函数×奇函数=奇函数，偶函数×偶函数=偶函数，偶函数÷偶函数=偶函数，奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数”。但是，我们怎么样，让学生轻松地记住这些结果呢？

我们提出一个极其简单的记忆口诀，即“把奇函数看成负数，偶函数看成正数”，来让学生联系地记住上述结果。初中学过“负×负得正，负×正得负，正×负得负，正×正得正，正÷正得正，负+负得负，正+正=正”，这样，这个内容正好依次对应符合“奇函数×奇函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数，偶函数×奇函数=奇函数，偶函数×偶函数=偶函数，偶函数÷偶函数=偶函数，奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数”。不但如此，我们还都知道“奇函数×奇函数×奇函数=奇函数”，这正好也符合“负×负×负得负”，因为我们把奇函数看成负数来处理奇函数、偶函数同时存在的情况。同样的道理，我们还知道“奇函数×偶函数×偶函数=奇函数”，其实这同样符合初中学的“负×正×正得负”。像这样的例子太多了，此时，我们不难发现，通过把“奇函数看成负数，偶函数看成正数”来判断奇函数、偶函数同时存在的函数的奇偶性、多个奇函数的“+×÷”混合的奇偶性以及多个奇函数的“+×÷”混合的奇偶性特别实用。

虽然对于“奇函数-奇函数”即“负-负”，我们无法判断结果的正负号，因此无法判断出其奇偶性，需要借助教材中奇、偶函数的定义来判断奇、偶函数同时存在的函数的奇偶性了，但是对于奇函数、偶函数同时存在的情况或者多个奇函数的“+-×÷”的情况或者多个多个偶函数的“+×÷”的情况，用我们提出的方法，凡是“+×÷”能判断出结果是正数是负数的，我们都可以判断出“这个混合的奇、偶函数”到底是奇函数还是偶函数，这是一件好事，毕竟用教材中奇、偶函数的定义来判断比较复杂的函数的奇偶性比较麻烦。

三、结合本文第一点和第二点，谈幂指数是分数的情形

细心观察一下，大家会发现，从本文第一点，不难发现处理的是幂指数是整数的情形。因为我们职业学院五年制大专班数学的授课对象是类似于高一水平的学生，我们自然要问，对于幂指数是分数的情况怎么处理呢？因为分数既不是偶数也不是奇数。再结合第二点本文提出的一个记忆口诀，即“把奇函数看成负数，偶函数看成正数”，可以轻松处理幂指数是分数时，判断函数的奇偶性问题，因为可以把举一例f（x）=x34，事实上，f（x）=x34蕴含着一个信息，那就是f（x）=x34=（x3）14。不难发现，因为幂“3”用是奇数，用我们提出的第一点想法，先轻松判断出x3是奇函数。再用我们提出的第二点想法即“把奇函数看成负数，偶函数看成正数”，（奇函数）14看成（负数）14，这明显没有意义，所以f（x）=x34既不是奇函数也不是偶函数。通过教材中奇、偶函数的定义，可以从侧面验证，我们的结果确是正确的。再举一例f（x）=x43，事实上，f（x）=x43蕴含着一个信息，那就是f（x）=x43=（x4）13。不难发现，因为幂“4”用是偶数，用我们提出的第一点想法，先轻松判断出x4是偶函数。再用我们提出的第二点想法即“把奇函数看成负数，偶函数看成正数”，（偶函数）13看成（正数）14，很显然，结果还是正数，所以f（x）=x43是偶函数，因为我们用的方法是“把奇函数看成负数，偶函数看成正数”，而我们的最终结果是判断函数的奇偶性。通过教材中奇、偶函数的定义，同样可以从侧面验证，我们的结果确是正确的。像这样的例子，我们还可以举出很多，这些例子说明本文提出的第一点想法和第二点想法，对于判断较复杂的函数的奇偶数非常有用。

我国著名数学家、著名教育家陈省身院士曾指出“数学是思考的产物。首先要能够思考起来，用自己的见解和别人的见解交换，会有很好的效果。”笔者通过这篇文章对高中数学里函数的奇偶性提出了一些全新的理解方式和并且给出了具体应用，旨在与同仁们一起进步。

参考文献：

[1]刘绍学.高中数学必修一（第2版）[M].北京：人民教育出版社，2007，1.

[2]胡炯涛，张芃.胡炯涛中学数学教法纵横谈[M].济南：山东教育出版社，1997，9.

[3]苏步青.谈谈怎样学好数学[M].上海：上海教育出版社，1989，6.endprint