“函数的概念与性质”题型探析

■周 树

函数的概念与性质是每年高考的一个常考知识点。下面就高考中常见的几类题型进行举例剖析。

题型一:求函数的定义域

题型二:函数单调性的证明

题型三:求函数的单调区间

题型四:函数的奇偶性的应用

例4 已知f(x)是定义在R 上的奇函数,且当x≤0 时,f(x)=3x2-2x+m,则f(x)在[1,2]上的最大值为____。

思路分析:根据f(0)=0求m的值,由x≤0,结合f(x)是奇函数可求当x>0时的解析式,判断f(x)在[1,2]上的单调性即可求其最大值。或者,求出当x≤0时,f(x)的最小值,根据奇函数的性质,求出f(x)在[1,2]上的最大值。

解:(方法1)因为f(x)是定义在R 上的奇函数,所以f(0)=0。当x≤0时,f(x)=3x2-2x+m,所以f(0)=0=m,所以当x≤0时,f(x)=3x2-2x。

设x>0,则-x<0,所以f(-x)=3x2+2x,所以f(x)=-f(-x)=-3x2-2x,即当x>0 时,f(x)=-3x2-2x,所以f(x)在[1,2]上单调递减,所以f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)=-5。

(方法2)因为f(x)是定义在R 上的奇函数,所以f(0)=0。当x≤0 时,f(x)=3x2-2x+m,所以f(0)=0=m,所以当x≤0时,f(x)=3x2-2x。根据奇函数的性质,f(x)在[1,2]上有最大值,那么f(x)在[-2,-1]上有最小值。因为函数f(x)=3x2-2x在[-2,-1]上递减,所以当x∈[-2,-1]时,f(x)min=f(-1)=5,所以f(x)在[1,2]上的最大值为-5。