如何解答函数单调性的热点问题

■孙海燕

函数的单调性是函数的重要性质,解答函数问题,离不开函数的单调性的应用。下面就函数单调性的热点问题进行举例分析,供大家学习与参考。

一、求函数的单调区间

求函数单调区间的两种方法:一是利用基本初等函数的单调性;二是利用函数的图像,观察增减区间。求单调区间时,不连续的单调区间必须分开写,不能用“∪”符号连接;求函数的单调区间不能忽略函数的定义域,单调区间应是定义域的子集。

例1 求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数。

图1

由图可知,此函数在(-∞,-1],[0,1]上单调递增,在[-1,0],[1,+∞)上单调递减。

评析:一次函数的单调性看一次项系数的正负就可以判断;含有绝对值的函数,可先根据绝对值的意义,将其转化为分段函数,再结合图像即可确定单调区间及单调性。

二、利用函数的单调性求参数的取值范围

函数单调性应用的关注点:函数单调性的定义具有“双向性”,利用函数单调性的定义可以判断或证明函数的单调性,反过来,若已知函数的单调性,可以确定参数的取值范围。利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小。若一个函数在区间[a,b]上是单调的,则此函数在区间[a,b]内的任意子集上也是单调的。上单调递增,画出此函数的大致图像,如图2所示。由图可知,需满足g(1)≤h(1),即a-3≤3,所以a≤6。

图2

综上可得,实数a的取值范围是2

评析:利用函数的单调性,求含参数的分段函数应抓住两点:一是严格遵循函数单调性的定义;二是结合函数图像求出参数的限制条件,也就是关于参数的不等式。

三、利用函数的单调性解不等式

利用函数的单调性解不等式,一定要注意函数的定义域,也就是要先考虑函数的定义域,否则容易出现错解。

例3 已知函数f(x)是增函数,定义域为(0,+∞),且f(4)=2,f(xy)=f(x)+f(y),求满足f(x)+f(x-3)≤2的x取值范围。

因为f(x)+f(x-3)≤2,又f(xy)=f(x)+f(y),所以f[x(x-3)]=f(x)+f(x-3)≤2=f(4)。

又因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以x(x-3)≤4。

评析:函数的单调性是相对于函数定义域内某个子区间而言的“局部”性质,它反映了函数在某个区间上函数值的变化趋势。在利用函数的单调性解决问题(本题是利用函数的单调性解不等式)时,如果不考虑函数的定义域盲目解题,就会造成错解。

同学们可以看看该题以下的解题过程,想必会从中有所领会:

错解:因为f(x)+f(x-3)≤2,且f(xy)=f(x)+f(y),所以f[x(x-3)]=f(x)+f(x-3)≤2=f(4)。又因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以x(x-3)≤4,解得-1≤x≤4,即所求x的取值范围是-1≤x≤4。

错解忽视了函数的定义域为(0,+∞)这一隐含条件,若f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)],则x>0,x-3>0,且x(x-3)>0,在此条件下再去解不等式,才是正确的思路。

四、利用函数的单调性求函数的最值