导数在f(x)±f(-x)=y(x)型函数中的应用

李敏 孙威

【摘要】本文利用导数这一工具，对任意抽象的可导函数f（x）构造出的形如，f（x）±f（-x）=y（x）函数进行研究，并通过例题讨论与之相关函数的不等式问题.

【关键词】奇函数;偶函数;单调性

一、引言、定义与引理

奇（偶）函数是具有特殊性质的一类重要函数，单调性是也是研究函数性态的重要内容之一.将函数的奇（偶）性以及单调性相结合，对研究某些函数或者一些不等式问题会起到事半功倍的效果.尤其是f（x）±f（-x）=y（x）型函数，其中函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的可导函数.因为函数f（x）的抽象性使得问题难度加大，在此借助导数讨论相应函数性态（如单调性，奇偶性）往往会简单易于求解.

定义1[1] 设函数f（x）定义在区间I上，如果任意x∈I都有f（-x）=-f（x）（或f（x）），

则称函数f（x）为区间I上奇函数（或偶函数）.

引理1[1] 如果函数f（x）在闭区间I上可导，且满足任意x∈I都有f′（x）>0（或<0），

则函数f（x）为区间I上单调增加函数（或单调减少函数）.

二、f（x）±f（-x）=y（x）型函数问题讨论

例1 设函数f（x）在区间（-∞，+∞）上存在导函数，且满足f（x）+f（-x）=2x2，当x∈（-∞，0]时有f′（x）+1<2x.如果f（α+3）-f（-α）≤4α+6，证明α≥-3 2.

解 这是含有参数的抽象函数及相关不等式问题，题中出现函数和导函数首先会想到联系函数、导数的桥梁“中值定理”，但是所给区间不是有限闭区间，所以此法未必可行.于是可以考虑与导数密切相关的函数性态—单调性等进行讨论.具体如下：

由于f′（x）+1<2x，x∈（-∞，0]即有

（f（x）-x2+x）′=f′（x）-2x+1<0，x∈（-∞，0].

因此，设g（x）=f（x）-x2+x，根据f（x）+f（-x）=2x2，x∈（-∞，+∞），则有

0=f（x）+f（-x）-2x2+x-x

=[f（x）-x2+x]+[f（-x）-（-x）2+（-x）]

=g（x）+g（-x），

由此知g（-x）=-g（x），x∈（-∞，+∞），由定义1即得函数g（x）在（-∞，+∞）上的奇函数.结合前面讨论知g′（x）=（f（x）-x2+x）′=f′（x）-2x+1<0，x∈（-∞，0]，由引理1又可知函数g（x）在（-∞，+∞）上是单调减少函数.

根据已知条件和函数g（x）的定义可有

4α+6≥f（α+3）-f（-α）

=[g（α+3）+（α+3）2-（α+3）]-[g（-α）+（-α）2-（-α）]

=g（α+3）-g（-α）+4α+6.

上式等价于g（α+3）≤g（-α），再注意到函数g（x）在（-∞，+∞）上是单调减少函数，所以成立α+3≥-α，也就是参数α满足α≥-3 2.

证明完毕.上述证明巧妙构造出函数，并利用其导数判定单调性使问题得证.

例2 设函数f（x）在区间（-∞，+∞）上存在导函数，且满足f（x）-f（-x）=2x3，当x∈[0，+∞）时有f′（x）>3x2.如果f（β）-f（β-1）>3β2-3β+1，证明β>1 2.

解 类似例1，该题是含有参数的抽象函数及相关不等式问题，所以考虑借助导数判定单调性进行讨论.具体如下：

由于f′（x）>3x2，x∈[0，+∞）即有

（f（x）-x3）′=f′（x）-3x2>0，x∈[0，+∞）.

因此，设g（x）=f（x）-x3，根据f（x）-f（-x）=2x3，x∈（-∞，+∞），则有

0=f（x）-f（-x）-2x3

=[f（x）-x3]-[f（-x）-（-x）3]

=g（x）-g（-x），

由此知g（-x）=g（x），x∈（-∞，+∞），由定义1即得函数g（x）在（-∞，+∞）上的偶函数.结合前面讨论知g′（x）=（f（x）-x3）′=f′（x）-3x2>0，x∈[0，+∞），由引理1可知函数g（x）在[0，+∞）上是单调增加函数，函数g（x）在x∈（-∞，0]上是单调减少函数.

根据已知条件和函数g（x）的定义可有

3β2-3β+1

=[g（β）+β3]-[g（β-1）+（β-1）3]

=g（β）-g（β-1）+3β2-3β+1.

上式等价于g（β-1）≤g（β）.

当0≤β-1<β即β≥1时，由函数g（x）在[0，+∞）上单调增加知g（β-1）≤g（β）;

当β-1<0≤β时，由函数g（x）在（-∞，+∞）上是偶函数，且函数g（x）在（-∞，0]上单调减少知，若g（-β）=g（β）≥g（β-1），则-β≤β-1，即β≥1 2;

当β-1<β≤0时，由g（x）在（-∞，0]上单调减少，必有g（β-1）>g（β）矛盾.

综上所述，如果g（β-1）≤g（β），则参数β必须满足β≥1 2.

结论证毕.以上巧妙构造出函数，借助导数判定单调性使问题得证.

【参考文献】

[1]劉玉琏，傅沛仁.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1992.

[2]毛羽辉.数学分析选论[M].北京：科学出版社，2003.

[3]刘三阳，于力，李广民.数学分析选讲[M].北京：科学出版社有限责任公司，2007.