2021年高考函数的奇偶性和周期性中的“一题多解”

■卢智军

一题多解可以开拓思路,培养同学们的发散思维能力,还可以通过纵横发散,使所学知识串联、综合沟通,达到举一反三的目的。下面举例分析,供同学们学习与参考。

例1(2021 年高考全国卷)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是( )。

A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1

C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1

解法1:探究函数f(x)=的对称中心,利用奇函数的定义求解。由题意得f(x)=。

对于A,f(x-1)-1=-2,其定义域不关于原点对称,可知不是奇函数。对于B,f(x-1)+1=,显然是奇函数。对于C,f(x+1)-1=-2,其定义域不关于原点对称,可知不是奇函数。对于D,f(x+1)+1=,其定义域不关于原点对称,可知不是奇函数。应选B。

解法2:探究函数f(x)=的对称中心,利用图像平移进行验证。由题意得函数f(x)=,其对称中心为(-1,-1),将函数f(x)的图像向右平移1个单位,再向上平移1 个单位,可得函数f(x-1)+1的图像,这时f(x-1)+1的图像关于原点对称,即为奇函数。应选B。

反思:函数的定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的前提条件,再根据f(-x)与f(x)的关系得到结论,有时也可以借助图像的平移探究复合函数的奇偶性。

例2(2021 年新高考卷)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=____。

解法1:利用赋值法可求参数a的值。

由f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,可得f(-1)=f(1),所以,所以a=1。

解法2:利用偶函数的定义可求参数a的值。因为f(x)=x3(a·2x-2-x),所以f(-x)=-x3(a·2-x-2x)。又因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即x3(a·2x-2-x)=-x3(a·2-x-2x),整理可得x3·(a-1)(2x+2-x)=0 对于任意的x恒成立,故a-1=0,即a=1。

反思:依据f(-x)=f(x)对于任意的x恒成立,可赋值确定a的值,也可利用偶函数的定义转化为含参数的代数式确定a的值。

例3(2021年高考全国卷)设f(x)是定义域为R 的奇函数,且满足f(1+x)=f(-x)。若,则=( )。

解法1:利用函数的奇偶性和函数的递推关系f(1+x)=f(-x)求值。

解法2:由递推关系和奇函数探究周期性求值。

由f(x+1)=f(-x)和f(x)为奇函数,可得f(x+1)=-f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以函数f(x)的周期为2,所以。应选C。

反思:由递推关系和奇偶性探究周期性求值,往往使所求问题简单化。

例4(2021 年高考全国卷)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b。若f(0)+f(3)=6,则=( )。

解法1:利用f(x+1)是奇函数,f(x+2)是偶函数构建方程,确定f(x)解析式,再利用递推法求值。

由f(x+1)是奇函数,可得f(-x+1)=-f(x+1),由f(x+2)是偶函数,可得f(x+2)=f(-x+2)。

据此解析式进行赋值:令x=1,可得f(0)=-f(2)=-(4a+b),f(3)=f(1)=a+b。

因为f(0)+f(3)=6,所以-(4a+b)+a+b=6,可得a=-2。

令x=0,可得f(1)=-f(1),所以f(1)=0,即a+b=0,所以b=2。

所以当x∈[1,2]时,函数f(x)=-2x2+2。

解法2:从周期性入手求解。由f(x+1)是奇函数,f(x+2)是偶函数,奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称,可得函数f(x)的对称中心为(1,0),相邻的对称轴方程为x=2,可知f(x)的周期T=4。利用周期T=4,f(-x+1)=-f(x+1)及当x∈[1,2]时,f(x)=-2x2+2,可得。应选D。

反思:在解决函数性质问题时,通常可以借助一些常用结论,求出其周期,进而达到简便计算的效果。如解法2 中,用到f(x+1)是奇函数,f(x+2)是偶函数,可得f(x)的对称中心为(1,0),相邻对称轴方程为x=2,由函数图像知f(x)的周期为4。