高一上学年期末复习与总结

■张文伟

必修(第一册)的主要内容是集合与常用逻辑用语,一元二次函数,方程和不等式,函数的概念与性质,指数函数与对数函数以及三角函数。同学们要理解它们的概念、性质及应用,掌握一些经典题型的解题思想与方法,注意归纳总结,逐步提高解题能力和创新思维能力。

题型1:集合的概念与运算

集合的运算主要包括交集、并集和补集运算,这也是高考对集合部分的主要考查点。对于较抽象的集合问题,需借助Venn 图或数轴等进行数形分析,使问题直观化、形象化,进而能使问题简捷、准确地获解。

例1(1)(多选题)已知集合A={2,3},B={x|mx-6=0},若B⊆A,则实数m等于( )。

A.0 B.1

C.2 D.3

(2)已知全集U={x|x＞0},集合A={x|3≤x＜7},B={x|2＜x＜10},C={x|5-a＜x＜a}。

①求A∪B,(∁UA)∩B。②若C⊆(A∪B),求a的取值范围。

解:(1)当m=0时,B=∅,则B⊆A,符合题意。当m≠0时,,由B⊆A知,即m=3 或m=2。综上可知,m=0或m=2或m=3。应选A,C,D。

(2)①A∪B={x|3≤x＜7}∪{x|2＜x＜10}={x|2＜x＜10}。

∁UA={x|0＜x＜3或x≥7},(∁UA)∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}。

②若C=∅,则5-a≥a,解得;若C≠∅,则2≤5-a＜a≤10,解得。综上可得,a≤3,即a∈(-∞,3]。

题型2:充分条件与必要条件

若p⇒q,且q⇒/p,则p是q的充分不必要条件,同时q是p的必要不充分条件;若p⇔q,则p是q的充要条件,同时q是p的充要条件。充分、必要条件的判断和证明是高考的一个常考点,常与不等式等知识结合命题。学会用集合的观点,分析和解决充分、必要条件的判断和求参数范围问题,提升转化与化归能力。

例2(1)(多选题)对于任意实数a,b,c,下列结论正确的是( )。

A.“a=b”是“ac=bc”的充分条件

B.“a+是无理数”是“a是无理数”的必要条件

C.“a=b”是“a2=b2”的充分条件

D.“a＞b”是“a＞|b|”的必要条件

(2)设p:实数x满足A={x|x≤3a或x≥a(a＜0)},q:实数x满足B={x|-4≤x＜-2},且q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围。

解:(1)由a=b,可得ac=bc,A 正确。a+是无理数与a是不是无理数没有关系,B错误。由a=b,可得a2=b2,C正确。由a＞|b|,可得a＞b,D正确。应选A,C,D。

(2)由q是p的充分不必要条件,可得BA,所以由此解得或a≤-4。故实数a的取值范围为。

题型3:全称量词命题和存在量词命题

全称量词强调的是“任意”“一切”“每一个”等,常用符号“∀”表示,而存在量词强调的是部分,常用符号“∃”表示。对于全称量词命题和存在量词命题的否定要把握两点:一是改量词,二是否结论。

例3(1)命题p:“∀x∈R,x2＞0”,则( )。

A.p是假命题;﹁p:∃x∈R,x2＜0

B.p是假命题;﹁p:∃x∈R,x2≤0

C.p是真命题;﹁p:∀x∈R,x2＜0

D.p是真命题;﹁p:∀x∈R,x2≤0

(2)已知命题p:∀x∈{x|1≤x≤4},x-a≥0,命题q:∃x∈R,x2+2x+2-a=0。若命题﹁p是真命题,且命题q是真命题,求实数a的取值范围。

解:(1)因为02＞0不成立,所以“∀x∈R,x2＞0”为假命题。根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知,“∀x∈R,x2＞0”的否定是“∃x∈R,x2≤0”。应选B。

(2)若p:∀x∈{x|1≤x≤4},x-a≥0为真命题,则a小于或等于x的最小值,即a≤1。当命题﹁p是真命题时,命题p为假命题,所以a＞1。若q:∃x∈R,x2+2x+2-a=0为真命题,即方程x2+2x+2-a=0有解,则Δ=4-4(2-a)≥0,解得a≥1。当命题﹁p是真命题,且命题q是真命题时,需满足解得a＞1,即实数a的取值范围是(1,+∞)。

题型4:基本不等式及其应用

例4(1)已知x＞0,y＞0,2x+3y=6,则xy的最大值为____。

(2)设x＜-1,求的最大值。

题型5:不等式的性质及应用

不等式的性质的命题形式有比较大小、命题真假的判断、不等式的证明等,解答这类问题要注意直接法和特值法的应用。

例5(1)若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是( )。

A.A≤BB.A≥B

C.A＜B或A＞BD.A＞B

(2)如果a,b,c满足c＜b＜a且ac＜0,则下列选项中不一定成立的是( )。

A.ab＞acB.c(b-a)＞0

C.cb2＜ab2D.ac(a-c)＜0

解:(1)由A-B=a2+3ab-4ab+b2=a2-ab+b2=≥0,可得A≥B。应选B。

(2)由c＜b＜a,ac＜0,可得a＞0,c＜0。对于A,由b＞c,a＞0,可得ab＞ac,A 正确。对于B,由b＜a,c＜0,可得c(b-a)＞0,B正确。对于C,由c＜a,b2≥0,可得cb2≤ab2,但不一定得到cb2＜ab2,即C 不一定成立。对于D,由ac＜0,a-c＞0,可得ac(ac)＜0,D 正确。应选C。

题型6:一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法充分体现了三个“二次”之间的内在联系,解此相关问题应把握三个关键点:图像的开口方向;是否有根;根的大小关系。对于一元二次不等式的恒成立问题,利用数形结合法可帮助求解。

例6(1)若不等式ax2+3x+2＞0 的解集为{x|b＜x＜1},求a,b的值。

(2)求关于x的不等式ax2+3x+2＞-ax-1(其中a＞0)的解集。

解:(1)将x=1代入ax2+3x+2=0,可得a=-5。

由a=-5得不等式ax2+3x+2＞0即5x2-3x-2＜0,解得不等式的解集为。据此可得。

(2)不等式ax2+3x+2＞-ax-1可化为ax2+(a+3)x+3＞0,即(ax+3)(x+1)＞0。当,即0＜a＜3时,原不等式的解集为;当,即a=3 时,原不等式的解集为{x|x≠-1};当,即a＞3时,原不等式的解集为。

综上所述,当0＜a＜3时,原不等式的解集为;当a=3时,原不等式的解集为{x|x≠-1};当a＞3时,原不等式的解集为。

题型7:不等式在实际问题中的应用

不等式的应用问题常以函数为背景,多是解决现实生活、生产中的优化问题,在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值等。根据题设条件构建数学模型是解答这类问题的关键。

例7某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成。已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000 m2,人行道的宽分别为4 m 和10m(如图1)。

图1

(2)要使公园所占面积最小,则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?

解:(1)设休闲区的宽B1C1为am,则长A1B1为axm。

由a2x=4000,可得。

故S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)×+4160(x＞1)。

题型8:求函数的定义域

求函数定义域的常用依据是分母不为0,偶次根式中的被开方数大于或等于0。由几个式子构成的函数,其定义域是使各式子有意义的集合的交集。

例8(1)求函数的定义域。

(2)将长为a的铁丝折成矩形,求矩形面积y关于一边长x的解析式,并写出此函数的定义域。

解:(1)要使函数有意义得解得所以函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}。

(2)设矩形的一边长为x,则另一边长为,所以面积。由题意可知此函数的定义域为。

题型9:求函数的解析式

求函数解析式的题型与相应的解法:(1)已知形如f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式,使用换元法或配凑法;(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数),使用待定系数法;(3)含f(x)与f(-x)或f(x)与,使用解方程组法;(4)已知一个区间的解析式,求其对称区间的解析式,可用奇偶性转移法。

例9(1)函数f(x)在R 上为奇函数,当x＞0时,f(x)=,则函数f(x)的解析式为____。

解:(1)当x＜0时,-x＞0,则f(-x)=。由f(x)是奇函数,可得f(-x)=-f(x),所以-f(x)=,即当x＜0时,f(x)=。又f(x)是奇函数,所以f(0)=0。

故函数f(x)=

题型10:函数的性质及应用

函数的性质主要有定义域、值域、周期性、对称性、单调性和奇偶性,其中单调性和奇偶性是学习的重点,利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是高考考查的主要内容。在解不等式时,要注意数形结合法的应用。

例10已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,当a,b∈[-1,1],a+b≠0时,有成立。

(1)判断f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明。

(2)解不等式f(x2)＜f(2x)。

(3)若f(x)≤m2-2am+1 对所有的a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围。

解:(1)f(x)是[-1,1]上的增函数。

任取x1,x2∈[-1,1],且x1＜x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)。由,可得＞0。因为x1-x2＜0,所以f(x1)-f(x2)＜0,所以f(x)是[-1,1]上的增函数。

(2)由(1)得f(x)在[-1,1]上单调递增,所以不等式f(x2)＜f(2x)等价于解得0＜x≤。

(3)要使f(x)≤m2-2am+1对所有的x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,只需f(x)max≤m2-2am+1对所有的x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立。

因为f(x)max=f(1)=1,所以1≤m2-2am+1 对任意的a∈[-1,1]恒成立,即m2-2am≥0对任意的a∈[-1,1]恒成立。令函数g(a)=-2ma+m2,只需满足解得m≤-2或m≥2或m=0。故实数m的取值范围是(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)。

题型11:指数函数、对数函数的图像及应用

函数y=ax与y=logax(a＞0,且a≠1)的图像关于直线y=x对称,前者恒过(0,1)点,后者恒过(1,0)点,两函数的单调性均由底数a决定。在解题中要注意由翻折、平移等变换得出的函数图像。

例11(1)已知a＞0,且a≠1,则函数f(x)=ax和函数的图像可能是( )。

A.[-1,0) B.[0,+∞)

C.[-1,+∞) D.[1,+∞)

解:(1)由题意知函数f(x)=ax与的单调性相同,排除D。由g(-1)=loga1=0,可排除A,B。应选C。

(2)函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,也即函数f(x)的图像与直线y=-x-a有2个交点。作出直线y=-x-a与函数f(x)的图像,如图2所示。

图2

由图可知,要使g(x)存在2 个零点,需满足-a≤1,解得a≥-1。应选C。

题型12:指数函数、对数函数的性质及应用

指数函数、对数函数的性质命题角度有:数值的比较大小、方程或不等式的求解问题。要注意解含有对数式的方程或不等式时,不能忘记对数的真数大于0,以免出现增解或漏解。

例12(1)若0＜x＜y＜1,则( )。

A.3y＜3xB.logx3＜logy3

Cl.og4x＜log4yD.

(2)已知a＞0,a≠1,且loga3＞loga2,若函数f(x)=logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1。

①求a的值。②若1≤x≤3,求函数y=的值域。

解:(1)函数y=3x在R 上单调递增,由0＜x＜y＜1,可得3x＜3y,A 错误。当0＜a＜1时,函数y=logax在x∈(0,1)上“底小图高”,由0＜x＜y＜1,可得logx3＞logy3,B错误。函数y=log4x在(0,+∞)上单调递增,则log4x＜log4y,C正确。函数在R 上单调递减,则,D 错误。应选C。

(2)①由loga3＞loga2,可知f(x)=logax在[a,3a]上为增函数,所以loga(3a)-logaa=1,即loga3=1,可得a=3。

题型13:函数的零点与方程的根

函数的零点就是相应方程的根,也是相应函数图像与x轴交点的横坐标。判断函数的零点个数可转化为方程根的个数或两函数图像的交点个数。零点存在性定理是判断函数是否存在零点的一种方法,但要注意其使用的两个条件,即连续性与异号性。

例13已知定义在R 上的函数y=f(x)的图像是一条不间断的曲线,f(a)≠f(b),其中a＜b,设F(x)=f(x)-,求证:函数F(x)在区间(a,b)上有零点。

题型14:函数的实际应用

掌握两类函数模型:一类是指数型函数模型,通常可表示为y=a(1+p)x(其中a为原来的基数,p为增长率,x为时间),另一类是对数型函数模型,通常可表示为y=mlogax+n(m,n,a为常数,a＞0,a≠1,m≠0)。解决函数应用问题的关键是依据实际情况所提供的数据求得相应解析式,然后利用相应解析式解决实际问题。

例142018 年12 月8 日,我国的“长征”三号乙火箭成功发射了嫦娥四号探测器,这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步。火箭的起飞质量M是箭体(包括搭载的飞行器)的质量m(t)和燃料质量x(t)之和。在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度y(km/s)关于x(t)的函数关系式为y=k[ln(m+x)-]+4ln2(其中k≠0)。当燃料质量为时,该火箭的最大速度为4km/s。

(1)求“长征”三号系列火箭的最大速度y与燃料质量x之间的函数关系式。

(2)已知“长征”三号火箭的起飞质量M是479.8t,则应装载多少吨燃料才能使火箭的最大飞行速度达到8km/s?(结果精确到0.1t,e取2.718)

解:(1)由题意得4=k{ln[m+·m]-}+4ln2,据此解得k=8,所以所求函数关系为y=8[ln(m+x)-]+4ln2=。

(2)由已知得M=m+x=479.8,则m=479.8-x。由y=8,可得,解得x≈303.3。

故应装载大约303.3t燃料,才能使火箭的最大飞行速度达到8km/s。

题型15:三角函数的化简与求值

熟练掌握两个基本关系式sin2α+cos2α=1及,并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明。在倍角公式中,要特别注意cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α及其变形式。诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式,记忆规律是:奇变偶不变,符号看象限。

题型16:三角函数的图像与性质

三角函数的性质主要包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性等。对于三角函数的图像与性质问题,一般先通过恒等变换将函数表达式变形为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k的形式,然后将ωx+φ看成一个整体,利用整体代换思想加以解决。画函数y=Asin(ωx+φ)的图像的两种方法:“五点法”和图像的伸缩与平移变换法。

例16已知函数f(x)=·cosωx在x=处取得最值,其中ω∈(0,2)。

(1)求函数f(x)的最小正周期。

(2)将函数f(x)的图像向左平移个单位长度,再将所得图像上各点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图像。若α为锐角,且g(α)=,求cosα的值。

题型17:三角函数模型的应用

如果某种现象的变化具有周期性,那么可以根据这一现象的特征和条件利用三角函数知识建立数学模型——三角函数模型。在解题中务必关注两点:自变量的取值范围;数形结合的灵活运用。

例17如图3 所示,摩天轮的半径为40m,中心O点距地面的高度为50m,摩天轮按逆时针方向匀速转动,每2min转一圈,摩天轮上点P的起始位置在最高点。

图3

(1)试确定在时刻tmin时P点距离地面的高度h。

(2)在摩天轮转动一圈内,有多长时间P点距离地面超过70m。

解:(1)建立如图4所示的平面直角坐标系。

图4

设φ(0≤φ＜2π)是以Ox为始边,OP0(P0表示点P的起始位置)为终边的角。OP在tmin内转过的角为,即πt。

以Ox为始边,OP为终边的角为(πt+φ),即P点的纵坐标为40sin(πt+φ)。由题意知φ=,所以P点距地面的高度h=50+=50+40cosπt。

(2)当50+40cosπt＞70 时,解得2k-。由0≤t≤2,可知符合题意的时间段为。故在摩天轮转动一圈内,有点距离地面超过70m。