双函数中任意性与存在性问题探究

袁满成

函数中的任意性与存在性问题，是高中数学的重要内容，渗透着化归与转化、数形结合、函数与方程等数学思想，一直是高考命题的热点，也是同学们学习的难点。这类问题既有单一函数的任意性与存在性问题，也有双函数中的任意性与存在性问题，同时变量也涉及單变量与双变量。下面就双函数中的任意性与存在性问题进行探究，意在抛砖引玉。

一、双函数、单变量的任意性与存在性问题

双函数、单变量的任意性与存在性问题，需要优先考虑分离参数法，并转化为最值（或临界值）进行研究，但要注意利用的最值（或临界值）正好是相反的。当分离参数构造所得函数的最值不好求时，可以利用作差、分类讨论的方法进行解决。

评析：若f（x）≥a或g（x）≤a恒成立，只需满足f（x）min≥a或g（x）max≤a，求出函数f（x）的最小值或函数g（x）的最大值即可解决问题。

评析：对于不适合分离参数的不等式，常用分类讨论法，结合函数的单调性或最值，求得参数的取值范围。

二、双函数、双变量的任意性与存在性问题

双函数、双变量的任意性与存在性问题，通常是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系（或两个函数最值之间的关系）进行研究。