聚焦含参数的一元二次不等式问题

赵军

含有參数的一元二次不等式问题的常见题型主要有四种：求解集问题、求相关系数问题、恒成立问题以及有解问题。掌握常见题型与解题方法，对同学们解答含参数的一元二次不等式问题有一定帮助。

点评

解含参数的一元二次不等式时，若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，然后讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式。

三、恒成立问题

例3设函数f（x）=mx2 -mx -1。

（1）若对于一切实数x，f（x）<0恒成立，求实数m的取值范围。

（2）若对于x∈[1，3]，f（x）<一m+5恒成立，求实数m的取值范围。

点评 对于含参数的一元二次不等式恒成立问题，一般是通过变量分离，将其转化为最值问题求解。

四、有解问题

例4若关于x的不等式x2 -4x -2-a>0在区间（1，4）内有解，则实数a的取值范围是（

）。

A.（-∞，-2）

B.（- ∞，-2]

C.（一6，+∞）

D.（一∞，-6）

点评 有解问题与存在性问题的区别：分离参数后，所求的最值是相反的。如本题转化为求a <（x2 -4x -2）max即可。