小议恒成立与能成立问题

宋秀玲

解决不等式恒成立、能成立问题，常见有四种解法：解集法，分离参数法，主参换位法和数形结合法。解答这类问题的方法灵活，能提升同学们的逻辑推理、数学运算等素养。恒成立问题：a>f（x）恒成立<=>a>f （X）max，a≤f（x）恒成立<=>a≤f （X ）min。能成立問题：a>f（x）能成立<=>a>f（x）min，a≤f（x）能成立<=>a≤f （x） max。

题型1：自变量在R上取值，不等式恒成立，求参数的取值范围

评注：解答本题要注意两点：一是正弦函数的有界性，二是换元后新元的取值范围。

题型2：自变量在某个区间上取值，不等式恒成立，求参数的取值范围

例3 已知函数f（x） =x2 +mx-1，若对任意的x∈[m，m+1]，都有f（x）<0成立，则实数m的取值范围为

。

评注：画二次函数图像有两个要点：一是看二次项系数的符号，确定二次函数图像的开口方向;二是看对称轴和最值，确定二次函数的具体位置。

评注：解对数型函数问题，应注意对底数的分类讨论。

题型3：当参数在某个区间上取值时，不等式恒成立，求自变量的取值范围

评注：转换思维角度，把变量与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，再求得原变量的取值范围。

评注：在处理多变元问题时，可以选取其中的常数（或参数），将其看作是“主元”，而把其他变元看作常量，从而达到减少变元，简化运算的目的。

题型4： x∈R，使不等式成立，求参数的取值范围

评注：能成立问题可以转化为m>ymax或m

例8 已知命题p：存在实数z，使得不等式x2 +2ax +a≤0成立。若命题p是假命题，则实数a的取值范围为____。

评注：根据命题真假求参数的方法：利用题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）;再求出每个命题是真命题时参数的取值范围;最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围。